sin^{2}xlog(sinx)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^2 x \log ( \sin x)dx=\frac{π}{8}(1-2 \log 2)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 x \log ( \sin x)dx=-\frac{π}{8}(1+2 \log 2)\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^2 x \log ( \cos x)dx=-\frac{π}{8}(1+2 \log 2)\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 x \log ( \cos x)dx=\frac{π}{8}(1-2 \log 2)
\end{alignat}








<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos2x \log( \sin x)dx=-\frac{π}{4}$$


\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^2 x \log ( \sin x)dx&=\frac{1}{2} \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (1- \cos 2x) \log ( \sin x)dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log ( \sin x)dx-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2x \log ( \sin x)dx\\
&=\frac{1}{2}\left(-\frac{π}{2} \log 2\right)-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{π}{4}\right)\\
&=\frac{π}{8}-\frac{π}{4} \log 2=\frac{π}{8}(1-2 \log 2)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^2 x \log ( \sin x)dx=\frac{π}{8}(1-2 \log 2)$$






\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 x \log ( \sin x)dx&=\frac{1}{2} \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (1+ \cos 2x) \log ( \sin x)dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log ( \sin x)dx+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2x \log ( \sin x)dx\\
&=\frac{1}{2}\left(-\frac{π}{2} \log 2\right)+\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{π}{4}\right)\\
&=-\frac{π}{8}-\frac{π}{4} \log 2=-\frac{π}{8}(1+2 \log 2)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 x \log ( \sin x)dx=-\frac{π}{8}(1+2 \log 2)$$





\((3)\) \( \displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^2 x \log ( \cos x)dx&=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 \sin^2 \left(\frac{π}{2}-t\right) \log \left\{ \cos \left(\frac{π}{2}-t\right)\right\}(-dt)\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 t \log ( \sin t)dt=-\frac{π}{8}(1+2 \log 2)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^2 x \log ( \cos x)dx=-\frac{π}{8}(1+2 \log 2)$$







\((4)\) \( \displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 x \log ( \sin x)dx&=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 \cos^2 \left(\frac{π}{2}-t\right) \log \left\{ \sin \left(\frac{π}{2}-t\right)\right\}(-dt)\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^2 t \log ( \cos t)dt=\frac{π}{8}(1-2 \log 2)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 x \log ( \cos x)dx=\frac{π}{8}(1-2 \log 2)$$

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