sin^{3}axcosbx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \cos bx}{x^3}dx=
\begin{cases}
0            &(b \geq 3a)\\
\displaystyle \frac{π}{16}(3a-b)^2   &(a \lt b \lt 3a)\\
\displaystyle \frac{πa^2}{4}          &(a=b)\\
\displaystyle \frac{π}{8}(3a^2-b^2)   &(b \lt a)\\
\end{cases}
\end{alignat}









<証明>

三角関数の公式を用いて、次数を下げ、和の形にします。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \cos bx}{x^3}dx\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(3 \sin ax -\sin 3ax) \cos bx}{x^3}dx\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3 \sin ax \cos bx-\sin 3ax \cos bx}{x^3}dx\\
&=\frac{1}{8}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{6 \sin ax \cos bx-2\sin 3ax \cos bx}{x^3}dx\\
&=\frac{1}{8}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3 \sin (a+b)x+3 \sin (a-b)x-\sin(3a+b)x-\sin(3a-b)x}{x^3}dx\\
\end{alignat}部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{16}\left[\frac{3 \sin (a+b)x+3 \sin (a-b)x-\sin(3a+b)x-\sin(3a-b)x}{x^2}\right]_0^{\infty}\\
&   +\frac{1}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3(a+b) \cos (a+b)x+3(a-b) \cos (a-b)x-(3a+b)\cos (3a+b)x-(3a-b)\cos (3a-b)x}{x^2}dx\\
\end{alignat}上の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{3 \sin (a+b)x+3 \sin (a-b)x-\sin(3a+b)x-\sin(3a-b)x}{x^2}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{3(a+b) \cos (a+b)x+3(a-b) \cos (a-b)x-(3a+b)\cos (3a+b)x-(3a-b)\cos (3a-b)x}{2x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-3(a+b)^2 \sin (a+b)x-3(a-b)^2 \sin (a-b)x+(3a+b)^2\sin (3a+b)x+(3a-b)^2\sin (3a-b)x}{2}=0\\
\end{alignat}よって、計算する積分は次のようになります。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \cos bx}{x^3}dx=\frac{1}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3(a+b) \cos (a+b)x+3(a-b) \cos (a-b)x-(3a+b)\cos (3a+b)x-(3a-b)\cos (3a-b)x}{x^2}dx$$もう一度、部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{16}\left[\frac{3(a+b) \cos (a+b)x+3(a-b) \cos (a-b)x-(3a+b)\cos (3a+b)x-(3a-b)\cos (3a-b)x}{x}\right]_0^{\infty} \\
&   -\frac{1}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3(a+b)^2 \sin (a+b)x+3(a-b)^2 \sin (a-b)x-(3a+b)^2\sin (3a+b)x-(3a-b)^2\sin (3a-b)x}{x}dx\\
\end{alignat}上の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{3(a+b) \cos (a+b)x+3(a-b) \cos (a-b)x-(3a+b)\cos (3a+b)x-(3a-b)\cos (3a-b)x}{x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \{-3(a+b)^2 \sin (a+b)x-3(a-b)^2 \sin (a-b)x+(3a+b)^2\sin (3a+b)x+(3a-b)^2\sin (3a-b)x\}=0\\
\end{alignat}よって、計算する積分は次のようになります。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \cos bx}{x^3}dx\\
&=-\frac{1}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3(a+b)^2 \sin (a+b)x+3(a-b)^2 \sin (a-b)x-(3a+b)^2\sin (3a+b)x-(3a-b)^2\sin (3a-b)x}{x}dx\\
&=-\frac{3}{16}(a+b)^2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (a+b)x}{x}dx-\frac{3}{16}(a-b)^2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (a-b)x}{x}dx+\frac{1}{16}(3a+b)^2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (3a+b)x}{x}dx+\frac{1}{16}(3a-b)^2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (3a-b)x}{x}dx\\
\end{alignat}
\((A)\) \(b \gt a\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{3}{16}(a+b)^2 \cdot \frac{π}{2}+\frac{3}{16}(a-b)^2 \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{16}(3a+b)^2 \cdot \frac{π}{2}-\frac{1}{16}(3a-b)^2 \cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{32}\{-3(a+b)^2+3(a-b)^2+(3a+b)^2-(3a-b)^2\}=0\\
\end{alignat}
\((B)\) \(b=a\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{3}{16}(a+b)^2 \cdot \frac{π}{2}+\frac{3}{16}(a-b)^2 \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{16}(3a+b)^2 \cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{32}\{-3(a+b)^2+3(a-b)^2+(3a+b)^2\}=0\\
\end{alignat}
\((C)\) \(3a \gt b \gt a\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{3}{16}(a+b)^2 \cdot \frac{π}{2}+\frac{3}{16}(a-b)^2 \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{16}(3a+b)^2 \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{16}(3a-b)^2 \cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{32}\{-3(a+b)^2+3(a-b)^2+(3a+b)^2+(3a-b)^2\}\\
&=\frac{π}{32}(-12ab+18a^2+2b^2)=\frac{π^2}{16}(9a^2-6ab+b^2)=\frac{π}{16}(3a-b)^2\\
\end{alignat}
\((D)\) \(b=a\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{3}{16}(a+b)^2 \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{16}(3a+b)^2 \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{16}(3a-b)^2 \cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{32}\{-3(a+b)^2+(3a+b)^2+(3a-b)^2\}\\
&=\frac{π}{32}(-12a^2+16a^2+4a^2)=\frac{π}{32}\cdot 8a^2=\frac{πa^2}{4}\\
\end{alignat}
\((E)\) \(b \lt a\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{3}{16}(a+b)^2 \cdot \frac{π}{2}-\frac{3}{16}(a-b)^2 \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{16}(3a+b)^2 \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{16}(3a-b)^2 \cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{32}\{-3(a+b)^2-3(a-b)^2+(3a+b)^2+(3a-b)^2\}\\
&=\frac{π}{32}(-6a^2-6b^2+18a^2+2b^2)=\frac{π}{32}(12a^2-4b^2)=\frac{π}{8}(3a^2-b^2)
\end{alignat}

以上より
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \cos bx}{x^3}dx=
\begin{cases}
0            (b \geq 3a)\\
\displaystyle \frac{π}{16}(3a-b)^2   (a \lt b \lt 3a)\\
\displaystyle \frac{πa^2}{4}          (a=b)\\
\displaystyle \frac{π}{8}(3a^2-b^2)   (b \lt a)\\
\end{cases}
\end{alignat}

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