sin^3axsin3bx/x^4[0,∞]の定積分

\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \sin 3bx}{x^4}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{πa^3}{2} (b \geq a)\\
\displaystyle \frac{π}{16}\{8a^3-(a-b)^3\} (3a \gt 3b \geq a)\\
\displaystyle \frac{9πb}{8}(a^2-b^2) (3b \lt a)
\end{cases}
\end{alignat}ただし \(a \gt 0, b \gt 0\)








<証明>

\(3\) 倍角の公式を用いて次数を下げ、積和の公式で三角関数を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \sin 3bx}{x^4}dx\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(3 \sin ax- \sin 3ax) \sin 3bx}{x^4}dx\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3 \sin ax \sin 3bx- \sin 3ax \sin 3bx}{x^4}dx\\
&=\frac{1}{8}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-2 \sin 3ax \sin 3bx+6 \sin ax \sin 3bx}{x^4}dx\\
&=\frac{1}{8}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \cos (3a+3b)x – \cos (3a-3b)x -3 \cos (a+3b)x+3 \cos (a-3b)x}{x^4}dx\\
\end{alignat}分母の \(x\) の次数が \(1\) 次になるまで部分積分を繰り返します。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{8}\left[\frac{\cos (3a+3b)x – \cos (3a-3b)x -3 \cos (a+3b)x+3 \cos (a-3b)x}{3x^3}\right]_0^{\infty}\\
& +\frac{1}{8}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{-(3a+3b) \sin (3a+3b)x+(3a-3b) \sin (3a-3b)x+3(a+3b) \sin (a+3b)x -3(a-3b) \sin (a-3b)x}{3x^3}dx\\
\end{alignat}上の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\cos (3a+3b)x – \cos (3a-3b)x -3 \cos (a+3b)x+3 \cos (a-3b)x}{3x^3}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-(3a+3b) \sin (3a+3b)x+(3a-3b) \sin (3a-3b)x+3(a+3b) \sin (a+3b)x -3(a-3b) \sin (a-3b)x}{9x^2}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-(3a+3b)^2 \cos (3a+3b)x+(3a-3b)^2 \cos (3a-3b)x+3(a+3b)^2 \cos (a+3b)x -3(a-3b)^2 \cos (a-3b)x}{18x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(3a+3b)^3 \sin (3a+3b)x-(3a-3b)^3 \sin (3a-3b)x-3(a+3b)^3 \sin (a+3b)x +3(a-3b)^3 \sin (a-3b)x}{18}=0\\
\end{alignat}
よって求める積分は$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \sin 3bx}{x^4}dx=\frac{1}{24}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{-(3a+3b) \sin (3a+3b)x+(3a-3b) \sin (3a-3b)x+3(a+3b) \sin (a+3b)x -3(a-3b) \sin (a-3b)x}{x^3}dx$$
部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{24}\left[\frac{-(3a+3b) \sin (3a+3b)x+(3a-3b) \sin (3a-3b)x+3(a+3b) \sin (a+3b)x -3(a-3b) \sin (a-3b)x}{2x^2}\right]_0^{\infty}\\
&  +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-(3a+3b)^2 \cos (3a+3b)x+(3a-3b)^2 \cos (3a-3b)x+3(a+3b)^2 \cos (a+3b)x -3(a-3b)^2 \cos (a-3b)x}{2x^2}dx\\
\end{alignat}上の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-(3a+3b) \sin (3a+3b)x+(3a-3b) \sin (3a-3b)x+3(a+3b) \sin (a+3b)x -3(a-3b) \sin (a-3b)x}{2x^2}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-(3a+3b)^2 \cos (3a+3b)x+(3a-3b)^2 \cos (3a-3b)x+3(a+3b)^2 \cos (a+3b)x -3(a-3b)^2 \cos (a-3b)x}{4x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(3a+3b)^3 \sin (3a+3b)x-(3a-3b)^3 \sin (3a-3b)x-3(a+3b)^3 \sin (a+3b)x +3(a-3b)^3 \sin (a-3b)x}{4}=0\\
\end{alignat}
よって求める積分は$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \sin 3bx}{x^4}dx=\frac{1}{48}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-(3a+3b)^2 \cos (3a+3b)x+(3a-3b)^2 \cos (3a-3b)x+3(a+3b)^2 \cos (a+3b)x -3(a-3b)^2 \cos (a-3b)x}{x^2}dx$$
部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{48}\left[\frac{-(3a+3b)^2 \cos (3a+3b)x+(3a-3b)^2 \cos (3a-3b)x+3(a+3b)^2 \cos (a+3b)x -3(a-3b)^2 \cos (a-3b)x}{x}\right]_0^{\infty}\\
&  +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(3a+3b)^3 \sin (3a+3b)x-(3a-3b)^3 \sin (3a-3b)x-3(a+3b)^3 \sin (a+3b)x +3(a-3b)^3 \sin (a-3b)x}{x}dx\\
\end{alignat}上の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-(3a+3b)^2 \cos (3a+3b)x+(3a-3b)^2 \cos (3a-3b)x+3(a+3b)^2 \cos (a+3b)x -3(a-3b)^2 \cos (a-3b)x}{x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \{(3a+3b)^3 \sin (3a+3b)x-(3a-3b)^3 \sin (3a-3b)x-3(a+3b)^3 \sin (a+3b)x +3(a-3b)^3 \sin (a-3b)x\}=0\\
\end{alignat}
よって求める積分は
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \sin 3bx}{x^4}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(3a+3b)^3 \sin (3a+3b)x-(3a-3b)^3 \sin (3a-3b)x-3(a+3b)^3 \sin (a+3b)x +3(a-3b)^3 \sin (a-3b)x}{x}dx\\
&=\frac{9(a+b)^3}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (3a+3b)x}{x}dx-\frac{9(a-b)^3}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (3a-3b)x}{x}dx-\frac{(a+3b)^3}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (a+3b)x}{x}dx+\frac{(a-3b)^3}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (a-3b)x}{x}dx\\
\end{alignat}
\((A)\) \(b \gt a\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=\frac{9(a+b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}+\frac{9(a-b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}-\frac{(a+3b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}-\frac{(a-3b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{2}\left\{\frac{9}{16}(2a^3+6ab^2)+\frac{1}{16}(-2a^3-54ab^2)\right\}\\
&=\frac{π}{2}\left(\frac{9a^3}{8}+\frac{54ab^2}{16}-\frac{a^3}{8}-\frac{54ab^2}{16}\right)=\frac{πa^3}{2}
\end{alignat}
\((B)\) \(b=a\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=\frac{9(a+b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}-\frac{(a+3b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}-\frac{(a-3b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{2}\left(\frac{9 \cdot 8a^3}{16}-\frac{64a^3}{16}+\frac{8a^3}{16}\right)\\
&=\frac{π}{2}\left(\frac{9a^3}{2}-4a^3+\frac{a^3}{2}\right)=\frac{πa^3}{2}
\end{alignat}
\((C)\) \(3a \gt 3b \gt a\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=\frac{9(a+b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}-\frac{9(a-b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}-\frac{(a+3b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}-\frac{(a-3b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{2}\left\{\frac{9}{16}(6a^2b+2b^3)+\frac{1}{16}(-2a^3-54ab^2)\right\}\\
&=\frac{π}{16}\left\{9(3a^2b+b^3)-a^3-27ab^2)\right\}\\
&=\frac{π}{16}(8a^3-9a^3+27a^2b-27ab^2+9b^3)\\
&=\frac{π}{16}\{8a^3-9(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)\}\\
&=\frac{π}{2}\{8a^3-9(a-b)^3\}
\end{alignat}
\((D)\) \(3b=a\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=\frac{9(a+b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}+\frac{9(a-b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}-\frac{(a+3b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{2}\left(\frac{9 \cdot 64b^3}{16}+\frac{9 \cdot 8b^3}{16}-\frac{216b^3}{16}\right)\\
&=\frac{π}{2}\left(36b^3+\frac{9b^3}{2}-\frac{27b^3}{2}\right)=\frac{27πb^3}{2}=\frac{πa^3}{2}\\
\end{alignat}
\((E)\) \(3b \lt a\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=\frac{9(a+b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}-\frac{9(a-b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}-\frac{(a+3b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}+\frac{(a-3b)^3}{16} \cdot \frac{π}{2}\\
&=\frac{π}{2}\left\{\frac{9}{16}(6a^2b+2b^3)+\frac{1}{16}(-18a^2b-54b^3)\right\}\\
&=\frac{π}{16}\left\{9(3a^2b+b^3)-9a^2b-27b^3\right\}\\
&=\frac{π}{16}(27a^2b+9b^3-9a^2b-27b^3)\\
&=\frac{π}{16}(18a^2b-18b^3)=\frac{9πb}{8}(a^2-b^2)
\end{alignat}
以上より、これらをまとめれば
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \sin 3bx}{x^4}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{πa^3}{2} (b \geq a)\\
\displaystyle \frac{π}{16}\{8a^3-(a-b)^3\} (3a \gt 3b \geq a)\\
\displaystyle \frac{9πb}{8}(a^2-b^2) (3b \lt a)
\end{cases}
\end{alignat}

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です