sin7倍角までの公式

\begin{alignat}{2}
&(1)  \sin 2x=2 \sin x\cos x\\
&(2)  \sin 3x=3 \sin x- 4 \sin^3 x\\
&(3)  \sin 4x=\cos x(4 \sin x -8 \sin^3 x)\\
&(4)  \sin 5x=5 \sin x-20 \sin^3 x+16 \sin^5 x\\
&(5)  \sin 6x=\cos x(6 \sin x-32 \sin^3 x+32 \sin^5 x)\\
&(6)  \sin 7x=7\sin x-56 \sin^3 x+112 \sin^5 x-64 \sin^7 x\\
\end{alignat}








\((3)\) から \((7)\) のみ証明します。

また、途中で用いている \(\cos\) の倍角の公式の詳細はこちらです。

<証明>

\begin{alignat}{2}
(3)  \sin 4x&=2 \sin 2x \cos 2x\\
&=2 \cdot 2 \sin x\cos x(1- 2 \sin^2 x)\\
&=4 \sin x(1- 2 \sin^2 x)\cos x\\
&=\cos x(4 \sin x -8 \sin^3 x)
\end{alignat}以上より$$\sin 4x=\cos x(4 \sin x -8 \sin^3 x)$$







\begin{alignat}{2}
(4)  \sin 5x&=\sin (4x+x)\\
&=\sin 4x \cos x+\cos 4x \sin x\\
&=\cos^2 x(4 \sin x-8\sin^3 x)+(8\cos^4 x-8 \cos^2 x+1)\sin x\\
&=(4 \cos^2 x-8 \sin^2 x \cos^2 x+8 \cos^4 x-8\cos^2 x+1)\sin x\\
&=(8 \cos^4 x-8\sin^2 x \cos^2 x-4 \cos^2 x+1)\sin x\\
&=\{8 (1-\sin^2 x)^2-8 \sin^2 x (1-\sin^2 x) -4(1-\sin^2 x)+1\}\sin x\\
&=\{8 (1-2\sin^2 x+\sin^4 x)-8 \sin^2 x (1-\sin^2 x) -4(1-\sin^2 x)+1\}\sin x\\
&=(8-16 \sin^2 x+8 \sin^4 x-8 \sin^2 x+8 \sin^4 x-4+4 \sin^2 x+1)\sin x\\
&=(5- 20 \sin^2 x+16 \sin^4 x)\sin x\\
&=5 \sin x-20 \sin^3 x+16 \sin^5 x
\end{alignat}以上より$$\sin 5x=5 \sin x-20 \sin^3 x+16 \sin^5 x$$







\begin{alignat}{2}
(5)  \sin 6x&=2 \sin 3x \cos 3x\\
&=2(3 \sin x-4 \sin^3 x)(4 \cos^3 x-3 \cos x)\\
&=2(3 \sin x-4 \sin^3 x)(4 \cos^2 x-3)\cos x\\
&=2(3 \sin x-4 \sin^3 x)(1-4 \sin^2 x)\cos x\\
&=2(3 \sin x-12 \sin^3 x-4 \sin^3 x+16 \sin^5 x)\cos x\\
&=2(3 \sin x-16 \sin^3 x+16 \sin^5 x)\cos x\\
&=\cos x(6 \sin x-32 \sin^3 x+32 \sin^5 x)
\end{alignat}以上より$$\sin 6x=\cos x(6 \sin x-32 \sin^3 x+32 \sin^5 x)$$







\begin{alignat}{2}
(6)  \sin 7x&=\sin (6x+x)\\
&=\sin 6x \cos x+\cos 6x \sin x\\
&=\cos^2 x(6 \sin x-32 \sin^3 x+32 \sin^5 x)+(32 \cos^6 x-48 \cos^4 x+18 \cos^2 x-1) \sin x\\
&=(1-\sin^2 x)(6 \sin x-32 \sin^3 x+32 \sin^5 x)+\{32 (1-\sin^2 x)^3-48 (1-\sin^2 x)^2+18 (1-\sin^2 x)-1\} \sin x\\
&=(1-\sin^2 x)(6 \sin x-32 \sin^3 x+32 \sin^5 x)+\{32 (1-3\sin^2 x+3 \sin^4 x-\sin^6 x)-48 (1-2 \sin^2 x+\sin^4 x)+18 (1-\sin^2 x)-1\} \sin x\\
&=(1-\sin^2 x)(6 \sin x-32 \sin^3 x+32 \sin^5 x)+(32-96 \sin^2 x+96 \sin^4 x-32 \sin^6 x-48+96 \sin^2 x-48 \sin^4 x+18-18 \sin^2 x-1)\sin x\\
&=6 \sin x-32 \sin^3 x+32 \sin^5 x-6\sin^3 x+32 \sin^5 x-32 \sin^7 x+32 \sin x-96 \sin^3 x+96 \sin^5 x-32 \sin^7 x-48 \sin x+96 \sin^3 x-48 \sin^5 x+18 \sin x-18 \sin^3 x-sin x\\
&=7\sin x-56 \sin^3 x+112 \sin^5 x-64 \sin^7 x
\end{alignat} 以上より$$\sin 7x=7\sin x-56 \sin^3 x+112 \sin^5 x-64 \sin^7 x$$

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