sin(a^2/x^2)cos(b^2x^2)1/x^2dx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(\frac{a^2}{x^2}\right) \cos(b^2x^2) \cdot \frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{π}{2}}(\sin 2ab + \cos 2ab+e^{-2ab})\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(\frac{a^2}{x^2}\right) \cos(b^2x^2) \cdot \frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{π}{2}}(\cos 2ab-\sin 2ab+e^{-2ab})
\end{alignat} ただし、全て \(a,b \gt 0\)









<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(\frac{a^2}{x^2}\right) \sin (b^2x^2)dx=\frac{1}{4b}\sqrt{\frac{π}{2}}(\sin 2ab + \cos 2ab+e^{-2ab})\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(\frac{a^2}{x^2}\right) \cos (b^2x^2)dx=\frac{1}{4b}\sqrt{\frac{π}{2}}(\cos 2ab-\sin 2ab+e^{-2ab})\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)





どちらも \(\displaystyle \frac{1}{x}=t\) と置きます。\(\displaystyle \left( \frac{1}{x^2}dx=-dt\right)\)

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(\frac{a^2}{x^2}\right) \cos(b^2x^2) \cdot \frac{1}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^0 \sin \left(a^2t^2\right) \cos\left(\frac{b^2}{t^2}\right) (-dt)=\displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(a^2t^2\right) \cos\left(\frac{b^2}{t^2}\right) dt\\
&=\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{π}{2}}(\sin 2ab + \cos 2ab+e^{-2ab})\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(\frac{a^2}{x^2}\right) \cos(b^2x^2) \cdot \frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{π}{2}}(\sin 2ab + \cos 2ab+e^{-2ab})$$









\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(\frac{a^2}{x^2}\right) \cos(b^2x^2) \cdot \frac{1}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^0 \cos \left(a^2t^2\right) \cos\left(\frac{b^2}{t^2}\right) (-dt)=\displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(a^2t^2\right) \cos\left(\frac{b^2}{t^2}\right) dt\\
&=\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{π}{2}}(\cos 2ab + \sin 2ab+e^{-2ab})\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(\frac{a^2}{x^2}\right) \cos(b^2x^2) \cdot \frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{π}{2}}(\cos 2ab -\sin 2ab+e^{-2ab})$$

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