sin(a^2x^2+b^2/x^2)1/x^2dx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(a^2x^2+\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx=\frac{\sqrt{π}}{2b}\sin \left(2ab+\frac{π}{4}\right)\\
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(a^2x^2+\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx=\frac{\sqrt{π}}{2b}\cos \left(2ab+\frac{π}{4}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)








<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(a^2x^2+\frac{b^2}{x^2}\right)dx=\frac{\sqrt{2π}}{4a}(\cos 2ab +\sin 2ab)\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(a^2x^2+\frac{b^2}{x^2}\right)dx=\frac{\sqrt{2π}}{4a}(\cos 2ab -\sin 2ab)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)



どちらも \(\displaystyle \frac{1}{x}=t\) と置きます。\(\displaystyle\left( \frac{1}{x^2}dx=-dt\right)\)

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(a^2x^2+\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^0 \sin \left(\frac{a^2}{t^2}+b^2t^2\right)(-dt)=\displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(b^2t^2+\frac{a^2}{t^2}\right)dt\\
&=\frac{\sqrt{2π}}{4b}(\cos 2ab +\sin 2ab)=\frac{\sqrt{π}}{2b}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2ab+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2ab\right)\\
&=\frac{\sqrt{π}}{2b}\left(\sin 2ab \cos \frac{π}{4}+\cos 2ab \sin \frac{π}{4}\right)=\frac{\sqrt{π}}{2b}\sin \left(2ab+\frac{π}{4}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(a^2x^2+\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx=\frac{\sqrt{π}}{2b}\sin \left(2ab+\frac{π}{4}\right)$$







\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(a^2x^2+\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^0 \cos \left(\frac{a^2}{t^2}+b^2t^2\right)(-dt)=\displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(b^2t^2+\frac{a^2}{t^2}\right)dt\\
&=\frac{\sqrt{2π}}{4b}(\cos 2ab -\sin 2ab)=\frac{\sqrt{π}}{2b}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2ab-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2ab\right)\\
&=\frac{\sqrt{π}}{2b}\left(\cos 2ab \cos \frac{π}{4}-\sin 2ab \sin \frac{π}{4}\right)=\frac{\sqrt{π}}{2b}\cos \left(2ab+\frac{π}{4}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(a^2x^2+\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx=\frac{\sqrt{π}}{2b}\cos \left(2ab+\frac{π}{4}\right)$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です