sin(αlogx)x^{β-1}[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \sin( α \log x)x^{β-1}dx=-\frac{α}{α^2+β^2}\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \cos (α \log x)x^{β-1}dx=\frac{β}{α^2+β^2}\\
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{ \sin (α \log x)x^β}{ \log x}dx= \tan^{-1}\frac{α}{β+1}\\
&(4) \displaystyle\int_0^1 \frac{x(x+1) \sin ( \log x)}{ \log x}dx=\frac{π}{4}\\
&(5) \displaystyle\int_0^1 \frac{ x(2-x^5)\sin ( \log x)}{ \log x}dx=\frac{π}{4}
\end{alignat}



<証明>
\((1)\) と \((2)\) の積分をそれぞれ \(I,J\) と置きます。$$I=\displaystyle\int_0^1 \sin( α \log x)x^{β-1}dx,  J=\displaystyle\int_0^1 \cos (α \log x)x^{β-1}dx$$それぞれ部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&I=\left[\frac{x^{β}}{β} \sin (α \log x)\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{β}}{β} \cos (α \log x)\cdot \frac{α}{x}dx\\
& =-\frac{α}{β}\displaystyle\int_0^1 cos(α \log x)x^{β-1}dx=-\frac{α}{β}J\\
&J=\left[\frac{x^β}{β} \cos (α \log x)\right]_0^1+\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{β}}{β} sin (α \log x)\cdot \frac{α}{x}dx\\
& =\frac{1}{β}+\frac{α}{β}\displaystyle\int_0^1 \sin(α \log x)x^{β-1}dx=\frac{1}{β}+\frac{α}{β}I\\
\end{alignat}\(\displaystyle I=-\frac{α}{β}J, J=\frac{1}{β}+\frac{α}{β}I\) を解くと
\begin{alignat}{2}
&J=\frac{1}{β}-\frac{α^2}{β^2}J, (α^2+β^2)J=β, J=\frac{β}{α^2+β^2}\\
&I=-\frac{α}{β}\cdot \frac{1}{α^2+β^2}=-\frac{α}{α^2+β^2}
\end{alignat}以上より
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^1 \sin( α \log x)x^{β-1}dx=-\frac{α}{α^2+β^2}\\  
&\displaystyle\int_0^1 \cos (α \log x)x^{β-1}dx=\frac{β}{α^2+β^2}\\
\end{alignat}



\((3)\) 求める積分を \(I(α)\) と置き \(α\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I(α)=\displaystyle\int_0^1 \frac{ \sin (α \log x)x^β}{ \log x}dx\\
&I’(α)=\displaystyle\int_0^1 \frac{ \cos (α \log x)x^β}{ \log x} \cdot \log xdx\\
&    =\displaystyle\int_0^1 \cos (α \log x) x^βdx=\frac{β+1}{α^2+(β+1)^2}
\end{alignat}両辺を積分します。$$I(α)=\tan^{-1} \frac{α}{β+1}+C$$\(I(0)=0\) より \(C=0\) よって$$\displaystyle\int_0^1 \frac{ \sin (α \log x)x^β}{ \log x}dx= \tan^{-1} \frac{α}{β+1}$$




\((4)\) 次のように \( \log\) の前に \(α\) を置いた積分を \(I(α)\) とします。$$I(α)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x(x+1) \sin ( α\log x)}{ \log x}dx$$両辺を \(α\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(α)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x(x+1) \cos ( α \log x)}{ \log x} \cdot \log xdx\\
&    =\displaystyle\int_0^1 (x^2+x) \cos ( α \log x)dx\\
&    =\displaystyle\int_0^1 \cos ( α \log x)x^2dx+\displaystyle\int_0^1 \cos (α \log x)xdx\\
&    =\frac{3}{α^2+9}+\frac{2}{α^2+4}
\end{alignat}両辺を積分します。$$I(α)=\tan^{-1} \frac{α}{3}+ \tan^{-1}\frac{α}{2}+C$$\(I(0)=0\) より \(C=0\) よって
$$I(α)=\tan^{-1} \frac{α}{3}+ \tan^{-1}\frac{α}{2}$$\(α=1\) のとき$$I(1)=\tan^{-1} \frac{1}{3}+ \tan^{-1}\frac{1}{2}=\frac{π}{4}$$以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x(x+1) \sin ( \log x)}{ \log x}dx=\frac{π}{4}$$




\((5)\) 積分を切り離して \((3)\) を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{ x(2-x^5)\sin ( \log x)}{ \log x}dx\\
&=2\displaystyle\int_0^1 \frac{ \sin ( \log x)x}{ \log x}dx-\displaystyle\int_0^1 \frac{ \sin ( \log x)x^6}{ \log x}dx\\
&=2 \tan^{-1} \frac{1}{2}- \tan^{-1}\frac{1}{7}=\frac{π}{4}
\end{alignat}

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