sin(ax-b/x)^2(1/x^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx=-\frac{\sqrt{2π}}{4b}e^{-2ab}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx=\frac{\sqrt{2π}}{4b}e^{-2ab}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(ax-\frac{b}{x}\right)^2\frac{1}{x^2}dx=\frac{\sqrt{2π}}{4b}\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(ax-\frac{b}{x}\right)^2\frac{1}{x^2}dx=\frac{\sqrt{2π}}{4b}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)









<証明>

次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)(D)]
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}\right)dx=\frac{\sqrt{2π}}{4a}e^{-2ab}\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}\right)dx=\frac{\sqrt{2π}}{4a}e^{-2ab}\\
&(C) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(a^2x^2-2ab+\frac{b^2}{x^2}\right)dx=\frac{\sqrt{2π}}{4a}\\
&(D) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(a^2x^2-2ab+\frac{b^2}{x^2}\right)dx=\frac{\sqrt{2π}}{4a}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)



全て \(\displaystyle \frac{1}{x}=t\) と置きます。\(\displaystyle\left( \frac{1}{x^2}dx=-dt\right)\)


\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^0 \sin \left(\frac{a^2}{t^2}-b^2t^2\right)(-dt)=-\displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(b^2t^2-\frac{a^2}{t^2}\right)dt=-\frac{\sqrt{2π}}{4b}e^{-2ab}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx=-\frac{\sqrt{2π}}{4b}e^{-2ab}$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^0 \cos \left(\frac{a^2}{t^2}-b^2t^2\right)(-dt)=\displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(b^2t^2-\frac{a^2}{t^2}\right)dt=\frac{\sqrt{2π}}{4b}e^{-2ab}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}\right)\frac{1}{x^2}dx=\frac{\sqrt{2π}}{4b}e^{-2ab}$$






\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(ax^2-\frac{b}{x}\right)^2\frac{1}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^0 \sin \left(\frac{a}{t}-bt\right)^2(-dt)=\displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(bt-\frac{a}{t}\right)^2dt=\frac{\sqrt{2π}}{4b}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left(ax-\frac{b}{x}\right)^2\frac{1}{x^2}dx=\frac{\sqrt{2π}}{4b}$$








\begin{alignat}{2}
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(ax^2-\frac{b}{x}\right)^2\frac{1}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^0 \cos \left(\frac{a}{t}-bt\right)^2(-dt)=\displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(bt-\frac{a}{t}\right)^2dt=\frac{\sqrt{2π}}{4b}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left(ax-\frac{b}{x}\right)^2\frac{1}{x^2}dx=\frac{\sqrt{2π}}{4b}$$

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