sinax/√x-u[u,∞]の定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_u^{\infty} \frac{\sin ax}{\sqrt{x-u}}dx=\sqrt{\frac{π}{2a}}(\cos au +\sin au)\\
&(2) \displaystyle\int_u^{\infty} \frac{\cos ax}{\sqrt{x-u}}dx=\sqrt{\frac{π}{2a}}(\cos au -\sin au)\\
\end{alignat}
ただし \(a \gt 0, u \gt 0\)





<証明>

次のフレネル積分を用います。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \cos ax^2 dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \sin ax^2 dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2a}}$$

\((1)(2)\) のどちらも \(\sqrt{x-u}=t\) と置きます。$$x-u=t^2,  x=t^2+u,  dx=2tdt$$

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_u^{\infty} \frac{\sin ax}{\sqrt{x-u}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin a(t^2+u)}{t} \cdot 2tdt=2\displaystyle\int_0^{\infty} \sin (at^2+au)dt\\
&=2\displaystyle\int_0^{\infty} (\sin at^2 \cos au + \cos at^2 \sin au)dt\\
&=2\cos au \displaystyle\int_0^{\infty} \sin at^2dt+2 \sin au \displaystyle\int_0^{\infty} \cos at^2 dt\\
&=2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2a}}\cos au +2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2a}}\sin au\\
&=\sqrt{\frac{π}{2a}}(\cos au +\sin au)
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_u^{\infty} \frac{\sin ax}{\sqrt{x-u}}dx=\sqrt{\frac{π}{2a}}(\cos au +\sin au)$$





\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_u^{\infty} \frac{\cos ax}{\sqrt{x-u}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos a(t^2+u)}{t} \cdot 2tdt=2\displaystyle\int_0^{\infty} \cos (at^2+au)dt\\
&=2\displaystyle\int_0^{\infty} (\cos at^2 \cos au – \sin at^2 \sin au)dt\\
&=2\cos au \displaystyle\int_0^{\infty} \cos at^2dt-2 \sin au \displaystyle\int_0^{\infty} \sin at^2 dt\\
&=2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2a}}\cos au -2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2a}}\sin au\\
&=\sqrt{\frac{π}{2a}}(\cos au -\sin au)
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_u^{\infty} \frac{\cos ax}{\sqrt{x-u}}dx=\sqrt{\frac{π}{2a}}(\cos au -\sin au)$$

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