sin(ax)/√(x+b)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (ax)}{\sqrt{x+b}}dx=\sqrt{\frac{π}{2a}}\{\cos ax-\sin ax+2C(\sqrt{ab})\sin ab-2S(\sqrt{ab})\cos ab\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos (ax)}{\sqrt{x+b}}dx=\sqrt{\frac{π}{2a}}\{\cos ax+\sin ax-2C(\sqrt{ab})\cos ab-2S(\sqrt{ab})\sin ab\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)









<証明>

\((1)(2)\) のどちらも次の順序で置き換えます。

\((A)\) \(\sqrt{x+b}=t,  dx=2tdt\)

\((B)\) \(\sqrt{a}t=s,  \sqrt{a}dt=ds\)





\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (ax)}{\sqrt{x+b}}dx=\displaystyle\int_{\sqrt{b}}^{\infty} \frac{\sin (at^2-ab)}{t} \cdot 2tdt\\
&=2\displaystyle\int_{\sqrt{b}}^{\infty} \sin (at^2-ab)dt=2\displaystyle\int_{\sqrt{ab}}^{\infty} \sin (s^2-ab)\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}ds\\
&=\frac{2}{\sqrt{a}}\displaystyle\int_{\sqrt{ab}}^{\infty} (\sin s^2 \cos ax-\cos s^2 \sin ab)ds\\
&=\frac{2}{\sqrt{a}}\left(\cos ab \displaystyle\int_{\sqrt{ab}}^{\infty} \sin s^2 ds-\sin ab\displaystyle\int_{\sqrt{ab}}^{\infty} \cos s^2 ds \right)\\
&=\frac{2}{\sqrt{a}}\left[\cos ab \left\{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}}-\sqrt{\frac{π}{2}}S(\sqrt{ab})\right\}-\sin ab \left\{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}}-\sqrt{\frac{π}{2}}C(\sqrt{ab})\right\}\right]\\
&=\sqrt{\frac{π}{2a}}\{\cos ax-2S(\sqrt{ab})\cos ab-\sin ab+2C(\sqrt{ab})\sin ab\}\\
&=\sqrt{\frac{π}{2a}}\{\cos ax-\sin ax+2C(\sqrt{ab})\sin ab-2S(\sqrt{ab})\cos ab\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (ax)}{\sqrt{x+b}}dx=\sqrt{\frac{π}{2a}}\{\cos ax-\sin ax+2C(\sqrt{ab})\sin ab-2S(\sqrt{ab})\cos ab\}$$








\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos (ax)}{\sqrt{x+b}}dx=\displaystyle\int_{\sqrt{b}}^{\infty} \frac{\cos (at^2-ab)}{t} \cdot 2tdt\\
&=2\displaystyle\int_{\sqrt{b}}^{\infty} \cos (at^2-ab)dt=2\displaystyle\int_{\sqrt{ab}}^{\infty} \cos (s^2-ab)\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}ds\\
&=\frac{2}{\sqrt{a}}\displaystyle\int_{\sqrt{ab}}^{\infty} (\cos s^2 \cos ax+\sin s^2 \sin ab)ds\\
&=\frac{2}{\sqrt{a}}\left(\cos ab \displaystyle\int_{\sqrt{ab}}^{\infty} \cos s^2 ds+\sin ab\displaystyle\int_{\sqrt{ab}}^{\infty} \sin s^2 ds \right)\\
&=\frac{2}{\sqrt{a}}\left[\cos ab \left\{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}}-\sqrt{\frac{π}{2}}C(\sqrt{ab})\right\}+\sin ab \left\{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}}-\sqrt{\frac{π}{2}}S(\sqrt{ab})\right\}\right]\\
&=\sqrt{\frac{π}{2a}}\{\cos ax-2C(\sqrt{ab})\cos ab+\sin ab-2S(\sqrt{ab})\sin ab\}\\
&=\sqrt{\frac{π}{2a}}\{\cos ax+\sin ax-2C(\sqrt{ab})\cos ab-2S(\sqrt{ab})\sin ab\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos (ax)}{\sqrt{x+b}}dx=\sqrt{\frac{π}{2a}}\{\cos ax+\sin ax-2C(\sqrt{ab})\cos ab-2S(\sqrt{ab})\sin ab\}$$

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