(sinax-sinbx)/xcoshcx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax-\sin bx}{x \cosh cx}dx=2\tan^{-1} \frac{e^{\frac{πa}{2c}}-e^{\frac{πb}{2c}}}{1+e^{\frac{π(a+b)}{2c}}}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax-\cos bx}{x \sinh cx}dx=\log \frac{\cosh \frac{πb}{2c}}{ \cosh \frac{πa}{2c}}
\end{alignat}ただし、全て \(c \gt 0, 0 \lt b \lt a\)








<証明>

途中、次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{\sinh bx}dx=\frac{π}{2b}\tanh \frac{πa}{2b}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{\cosh bx}dx=\frac{π}{2b}\mathrm{sech} \frac{πa}{2b}
\end{alignat}



\((1)\) 次の定積分における等式を用います。$$\sin ax-\sin bx=[\sin tx]_b^a= \displaystyle\int_b^a (\sin xt)’dt=x \displaystyle\int_b^a \cos xtdt$$これを被積分関数に代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax-\sin bx}{x \cosh cx}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x \cosh cx}\left(x \displaystyle\int_b^a \cos xtdt\right)dx=\displaystyle\int_b^a \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos tx}{\cosh cx}dxdt\\
&=\displaystyle\int_b^a \frac{π}{2c}\mathrm{sech} \frac{πt}{2c}dt=\left[\tan^{-1}\left(\sinh \frac{πt}{2c}\right)\right]_b^a\\
&=\tan^{-1}\left(\sinh \frac{πa}{2c}\right)-\tan^{-1}\left(\sinh \frac{πb}{2c}\right)
\end{alignat}上記の項について、式変形を行います。
\begin{alignat}{2}
&\tan^{-1}\left(\sinh \frac{πa}{2c}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{e^{\frac{πa}{2c}}-e^{-\frac{πa}{2c}}}{2}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{e^{\frac{πa}{2c}}-e^{-\frac{πa}{2c}}}{1+e^{\frac{πa}{2c}} \cdot e^{-\frac{πa}{2c}}}\right)\\
&             =\tan^{-1}(e^{\frac{πa}{2c}})-\tan^{-1}(e^{-\frac{πa}{2c}})\\
&             =\tan^{-1}(e^{\frac{πa}{2c}})-\left\{\frac{π}{2}-\tan^{-1}(e^{\frac{πa}{2c}})\right\}=2\tan^{-1}(e^{\frac{πa}{2c}}) -\frac{π}{2}\\
\end{alignat}同様にして$$\tan^{-1}\left(\sinh \frac{πb}{2c}\right)=2\tan^{-1}(e^{\frac{πb}{2c}}) -\frac{π}{2}$$元の積分計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax-\sin bx}{x \cosh cx}dx\\
&=2\tan^{-1}(e^{\frac{πa}{2c}}) -\frac{π}{2}-\left\{2\tan^{-1}(e^{\frac{πb}{2c}}) -\frac{π}{2}\right\}\\
&=2\left\{\tan^{-1}(e^{\frac{πa}{2c}})-\tan^{-1}(e^{\frac{πb}{2c}})\right\}\\
&=2\tan^{-1} \frac{e^{\frac{πa}{2c}}-e^{\frac{πb}{2c}}}{1+e^{\frac{πa}{2c}} \cdot e^{\frac{πb}{2c}}}=2\tan^{-1} \frac{e^{\frac{πa}{2c}}-e^{\frac{πb}{2c}}}{1+e^{\frac{π(a+b)}{2c}}}
\end{alignat}
以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax-\sin bx}{x \cosh cx}dx=2\tan^{-1} \frac{e^{\frac{πa}{2c}}-e^{\frac{πb}{2c}}}{1+e^{\frac{π(a+b)}{2c}}}$$







\((2)\) 次の定積分における等式を用います。$$\cos ax-\cos bx=[\cos tx]_b^a= \displaystyle\int_b^a (\cos xt)’dt=-x \displaystyle\int_b^a \sin xtdt$$これを被積分関数に代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax-\cos bx}{x \sinh cx}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x \sinh cx}\left(-x \displaystyle\int_b^a \sin xtdt\right)dx=-\displaystyle\int_b^a \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin tx}{\sinh cx}dxdt\\
&=-\displaystyle\int_b^a \frac{π}{2c}\tanh \frac{πt}{2c}dt=-\left[\log \cosh \frac{πt}{2c}\right]_b^a\\
&=\log \cosh \frac{πb}{2c}-\log \cosh \frac{πa}{2c}=\log \frac{\cosh \frac{πb}{2c}}{ \cosh \frac{πa}{2c}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax-\cos bx}{x \sinh cx}dx=\log \frac{\cosh \frac{πb}{2c}}{ \cosh \frac{πa}{2c}}$$

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