sinax^2sin2bx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin ax^2 \sin 2bxdx=\sqrt{\frac{π}{2a}}\left\{C\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\cos \frac{b^2}{a}+S\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\sin \frac{b^2}{a}\right\}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos ax^2 \sin 2bxdx=\sqrt{\frac{π}{2a}}\left\{C\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\sin \frac{b^2}{a}-S\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\cos \frac{b^2}{a}\right\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0,b \gt 0\)









<証明>

途中、次の式を用いて変形しています。
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^1 \sin (ax^2)dx=\sqrt{\frac{π}{2a}}S(\sqrt{a})\\
&(B) \displaystyle\int_0^1 \cos (ax^2)dx=\sqrt{\frac{π}{2a}}C(\sqrt{a})\\
\end{alignat}


\((1)\) 積差の公式で三角関数を切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \sin ax^2 \sin 2bxdx=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \{\cos(ax^2+2bx)-\cos (ax^2-2bx)\}dx$$三角関数の中身を平方完成すると
\begin{alignat}{2}
&ax^2+2bx=a\left(x^2+\frac{2b}{a}x+\frac{b^2}{a^2}\right)-\frac{b^2}{a}=a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2-\frac{b^2}{a}\\
&ax^2-2bx=a\left(x^2-\frac{2b}{a}x+\frac{b^2}{a^2}\right)-\frac{b^2}{a}=a\left(x-\frac{b}{a}\right)^2-\frac{b^2}{a}\\
\end{alignat}となるので、元の積分は
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left\{a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2-\frac{b^2}{a}\right\}dx+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \cos \left\{a\left(x-\frac{b}{a}\right)^2-\frac{b^2}{a}\right\}dx
\end{alignat}三角関数の加法定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \left[\cos \left\{a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2\right\} \cos \frac{b^2}{a}+\sin \left\{a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2\right\} \sin \frac{b^2}{a}\right]dx\\
&     +\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \left[\cos \left\{a\left(x-\frac{b}{a}\right)^2\right\} \cos \frac{b^2}{a}+\sin \left\{a\left(x-\frac{b}{a}\right)^2\right\} \sin \frac{b^2}{a}\right]dx\\
\end{alignat}それぞれの積分について \(\displaystyle x+\frac{b}{a}=t, x-\frac{b}{a}=s\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{2}\cos \frac{b^2}{a}\displaystyle\int_{\frac{b}{a}}^{\infty} \cos at^2 dt-\frac{1}{2}\sin \frac{b^2}{a}\displaystyle\int_{\frac{b}{a}}^{\infty} \sin at^2 dt+\frac{1}{2}\cos \frac{b^2}{a}\displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\infty} \cos as^2 ds+\frac{1}{2}\sin \frac{b^2}{a}\displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\infty} \sin as^2 ds\\
&=\frac{1}{2}\cos \frac{b^2}{a}\left(\displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\infty} \cos ax^2 dx-\displaystyle\int_{\frac{b}{a}}^{\infty} \cos ax^2 dx\right)+\frac{1}{2}\sin \frac{b^2}{a}\left(\displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\infty} \sin ax^2 dx-\displaystyle\int_{\frac{b}{a}}^{\infty} \sin ax^2 dx\right)\\
&=\frac{1}{2}\cos \frac{b^2}{a} \displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\frac{b}{a}} \cos ax^2 dx+\frac{1}{2}\sin \frac{b^2}{a} \displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\frac{b}{a}} \sin ax^2 dx\\
&=\cos \frac{b^2}{a} \displaystyle\int_0^{\frac{b}{a}} \cos ax^2 dx+\sin \frac{b^2}{a} \displaystyle\int_0^{\frac{b}{a}} \sin ax^2 dx\\
\end{alignat}上記の積分を \(\displaystyle x=\frac{b}{a}t\) と置いて変形します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{b}{a}} \cos ax^2 dx=\displaystyle\int_0^1 \cos \left(a \cdot \frac{b^2}{a^2}t^2\right) \cdot \frac{b}{a}dt=\frac{b}{a}\displaystyle\int_0^1 \cos \left(\frac{b^2}{a}t^2\right)dt\\
&            =\frac{b}{a} \cdot \sqrt{\frac{π}{2 \cdot \frac{b^2}{a}}}C\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)=\sqrt{\frac{π}{2a}}C\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\\
&\\
&\displaystyle\int_0^{\frac{b}{a}} \sin ax^2 dx=\displaystyle\int_0^1 \cos \left(a \cdot \frac{b^2}{a^2}t^2\right) \cdot \frac{b}{a}dt=\frac{b}{a}\displaystyle\int_0^1 \sin \left(\frac{b^2}{a}t^2\right)dt\\
&            =\frac{b}{a} \cdot \sqrt{\frac{π}{2 \cdot \frac{b^2}{a}}}S\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)=\sqrt{\frac{π}{2a}}S\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\\
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \sin ax^2 \sin 2bxdx=\cos \frac{b^2}{a} \displaystyle\int_0^{\frac{b}{a}} \cos ax^2 dx+\sin \frac{b^2}{a} \displaystyle\int_0^{\frac{b}{a}} \sin ax^2 dx\\
&                  =\cos \frac{b^2}{a} \sqrt{\frac{π}{2a}}C\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)+\sin \frac{b^2}{a} \sqrt{\frac{π}{2a}}S\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\\
&                  =\sqrt{\frac{π}{2a}}\left\{C\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\cos \frac{b^2}{a}+S\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\sin \frac{b^2}{a}\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \sin ax^2 \sin 2bxdx=\sqrt{\frac{π}{2a}}\left\{C\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\cos \frac{b^2}{a}+S\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\sin \frac{b^2}{a}\right\}$$







\((2)\) 積差の公式で三角関数を切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \cos ax^2 \sin 2bxdx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \{\sin(ax^2+2bx)-\sin (ax^2-2bx)\}dx$$三角関数の中身を平方完成します。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left\{a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2-\frac{b^2}{a}\right\}dx-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \sin \left\{a\left(x-\frac{b}{a}\right)^2-\frac{b^2}{a}\right\}dx
\end{alignat}三角関数の加法定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \left[\sin \left\{a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2\right\} \cos \frac{b^2}{a}-\cos \left\{a\left(x+\frac{b}{a}\right)^2\right\} \sin \frac{b^2}{a}\right]dx\\
&     -\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \left[\sin \left\{a\left(x-\frac{b}{a}\right)^2\right\} \cos \frac{b^2}{a}-\cos \left\{a\left(x-\frac{b}{a}\right)^2\right\} \sin \frac{b^2}{a}\right]dx\\
\end{alignat}それぞれの積分について \(\displaystyle x+\frac{b}{a}=t, x-\frac{b}{a}=s\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\cos \frac{b^2}{a}\displaystyle\int_{\frac{b}{a}}^{\infty} \sin at^2 dt-\frac{1}{2}\sin \frac{b^2}{a}\displaystyle\int_{\frac{b}{a}}^{\infty} \cos at^2 dt-\frac{1}{2}\cos \frac{b^2}{a}\displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\infty} \sin as^2 ds+\frac{1}{2}\sin \frac{b^2}{a}\displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\infty} \cos as^2 ds\\
&=\frac{1}{2}\sin \frac{b^2}{a}\left(\displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\infty} \cos ax^2 dx-\displaystyle\int_{\frac{b}{a}}^{\infty} \cos ax^2 dx\right)-\frac{1}{2}\cos \frac{b^2}{a}\left(\displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\infty} \sin ax^2 dx-\displaystyle\int_{\frac{b}{a}}^{\infty} \sin ax^2 dx\right)\\
&=\frac{1}{2}\sin \frac{b^2}{a} \displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\frac{b}{a}} \cos ax^2 dx-\frac{1}{2}\cos \frac{b^2}{a} \displaystyle\int_{-\frac{b}{a}}^{\frac{b}{a}} \sin ax^2 dx\\
&=\sin \frac{b^2}{a} \displaystyle\int_0^{\frac{b}{a}} \cos ax^2 dx-\cos \frac{b^2}{a} \displaystyle\int_0^{\frac{b}{a}} \sin ax^2 dx\\
\end{alignat}上記の積分は \((1)\) と同様に代入します。
\begin{alignat}{2}
&=\sin \frac{b^2}{a} \sqrt{\frac{π}{2a}}C\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)-\cos \frac{b^2}{a} \sqrt{\frac{π}{2a}}S\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\\
&=\sqrt{\frac{π}{2a}}\left\{C\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\sin \frac{b^2}{a}-S\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\cos \frac{b^2}{a}\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \cos ax^2 \sin 2bxdx=\sqrt{\frac{π}{2a}}\left\{C\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\sin \frac{b^2}{a}-S\left(\frac{b}{\sqrt{a}}\right)\cos \frac{b^2}{a}\right\}$$

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