sinaxsinbx/x^2[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax \sin bx}{x^2}dx=\frac{π}{2} \min (a,b)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax \sin bx}{x}dx=
\begin{cases}
\frac{π}{4} (b \lt 2a)\\
\frac{π}{8} (b=2a)\\
0 (b \gt 2a)\\
\end{cases}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax \cos bx}{x}dx=\frac{1}{4}\log \frac{4a^2-b^2}{b^2}
\end{alignat}(ただし \(a \gt 0, b \gt 0\))






<証明>

\((1)\) 積差の公式で三角関数を切り離して、部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax \sin bx}{x^2}dx\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos (a+b)x- \cos (a-b)x}{x^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\left[\frac{\cos (a+b)x-\cos (a-b)x}{x}\right]_0^{\infty} -\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-(a+b) \sin (a+b)x+(a-b) \sin (a-b)x}{x}dx
\end{alignat}左側の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&   \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\cos (a+b)x-\cos (a-b)x}{x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \{-(a+b) \sin(a+b)x+(a-b) \sin (a-b)x\}=0
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax \sin bx}{x^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(a+b) \sin (a+b)x-(a-b) \sin (a-b)x}{x}dx\\
&=\frac{a+b}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (a+b)x}{x}dx-\frac{a-b}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (a-b)x}{x}dx\\
&=\frac{a+b}{2}\cdot \frac{π}{2}-\frac{a-b}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (a-b)x}{x}dx\\
\end{alignat}
\((A)\) \(a \gt b\) のとき$$=\frac{a+b}{2}\cdot \frac{π}{2}-\frac{a-b}{2}\cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{2}\left(\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}\right)=\frac{bπ}{2}$$
\((B)\) \(a \lt b\) のとき$$=\frac{a+b}{2}\cdot \frac{π}{2}+\frac{a-b}{2}\cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{2}\left(\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}\right)=\frac{bπ}{2}=\frac{aπ}{2}$$
\((C)\) \(a=b\) のとき$$=\frac{a+a}{2}\cdot \frac{π}{2}=\frac{aπ}{2}$$となるので \(a,b\) のうち、小さい方に \(\displaystyle \frac{π}{2}\) を掛けた値が積分値となることが分かるので$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax \sin bx}{x^2}dx=\frac{π}{2} \min (a,b)$$







\((2)\) 半角の公式で次数を下げます。三角関数を全て切り離します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax \sin bx}{x}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos 2ax) \sin bx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin bx- \cos 2ax \sin bx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \sin bx}{x}dx-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \cos 2ax \sin bx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \sin bx}{x}dx-\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (2a+b)x -\sin (2a-b)x}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \sin bx}{x}dx-\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (2a+b)x}{x}dx+\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (2a-b)x}{x}dx\\
\end{alignat}
\((A)\) \(b \lt 2a\) のとき$$=\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}-\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{4}$$
\((B)\) \(b=2a\) のとき$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{π}{2}-\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{8}$$
\((C)\) \(b \gt 2a\) のとき$$=\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}-\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}-\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}=0$$以上より
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax \sin bx}{x}dx=
\begin{cases}
\frac{π}{4} (b \lt 2a)\\
\frac{π}{8} (b=2a)\\
0 (b \gt 2a)\\
\end{cases}\\
\end{alignat}







\((3)\) 半角の公式で次数を下げます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax \cos bx}{x}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos 2ax) \cos bx}{x}dx\\
&                 =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos bx- \cos 2ax \cos bx}{x}dx
\end{alignat}この積分の被積分関数に \(e^{-tx}\) を掛けたものを \(I(t)\) と置きます。$$I(t)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos bx- \cos 2ax \cos bx}{x}\cdot e^{-tx}dx$$\(I(t)\) を \(t\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(t)=\displaystyle\int_0^{\infty} ( \cos 2ax \cos bx -\cos bx) e^{-tx}dx\\
&    =\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-tx} \cos 2ax \cos bxdx- \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-tx} \cos bxdx\\
&    =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-tx} \{\cos (2a+b)x+\cos (2a-b)x\}dx- \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-tx} \cos bxdx\\
&    =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-tx} \cos (2a+b)xdx+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-tx} \cos (2a-b)xdx- \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-tx} \cos bxdx\\
&    =\frac{1}{2}\left[\frac{e^{-tx}}{t^2+(2a+b)^2}\{(2a+b) \sin (2a+b)x -t \cos (2a+b)x\}\right]_0^{\infty}\\
&         +\frac{1}{2}\left[\frac{e^{-tx}}{t^2+(2a-b)^2}\{(2a-b) \sin (2a-b)x -t \cos (2a-b)x\}\right]_0^{\infty}\\
&         +\frac{1}{2}\left[\frac{e^{-tx}}{t^2+b^2}(b \sin bx -t \cos bx)\right]_0^{\infty}\\
&    =\frac{1}{2} \cdot \frac{t}{t^2+(2a+b)^2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{t}{t^2+(2a-b)^2}-\frac{t}{t^2+b^2}
\end{alignat}\(t\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
&I(t)=\frac{1}{4}\log \{t^2+(2a+b)^2\}+\frac{1}{4}\log \{t^2+(2a-b)^2\}-\frac{1}{2}\log (t^2+b^2)+C\\
&    =\frac{1}{4}\log \frac{\{t^2+(2a+b)^2\}\{t^2+(2a-b)^2\}}{(t^2+b^2)^2}+C
\end{alignat}\(I(∞)=0\) より \(C=0\) となるので$$I(t)=\frac{1}{4}\log \frac{\{t^2+(2a+b)^2\}\{t^2+(2a-b)^2\}}{(t^2+b^2)^2}$$よって \(t=0\) のとき$$I(0)=\frac{1}{4}\log \frac{(2a+b)^2 (2a-b)^2}{b^4}=\frac{1}{2} \log \frac{4a^2-b^2}{b^2}$$これを元の式に代入すると$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax \cos bx}{x}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos bx- \cos 2ax \cos bx}{x}dx=\frac{1}{2}I(0)=\frac{1}{4}\log \frac{4a^2-b^2}{b^2}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax \cos bx}{x}dx=\frac{1}{4}\log \frac{4a^2-b^2}{b^2}$$

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