sinc関数に類似した積分[3]

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax}{x}dx=\frac{π}{4}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax}{x^3}dx=\frac{3πa^2}{8}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 ax}{x^2}dx=\frac{πa}{4}\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 ax}{x^4}dx=\frac{πa^3}{3}\\
&(5) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^5 ax}{x^3}dx=\frac{5πa^2}{32}
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0\)








<証明>

全て、部分積分で分母の \(x\) の次数を \(1\) まで下げて、
分子の三角関数は種々公式を用いて切り離します。

また \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\) の不定形はロピタルの定理で計算します。


\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax}{x}dx=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3\sin ax- \sin 3ax}{x}dx\\
&                =\frac{3}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x}-\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin 3ax}{x}dx\\
&                =\frac{3}{4}\cdot \frac{π}{2}-\frac{1}{4}\cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{2}\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)=\frac{π}{4}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax}{x}dx=\frac{π}{4}$$







\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax}{x^3}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(-\frac{1}{2x^2}\right)’\sin^3 axdx\\
&            =\left[-\frac{\sin^3 ax}{2x^2}\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3a \sin^2 ax \cos ax}{2x^2}dx\\
\end{alignat}括弧の中をロピタルの定理を用いて計算します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin^3 ax}{2x^2}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{3a \sin^2 ax \cos ax}{4x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{3a \sin 2ax \sin ax}{8x}=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{3a(2a \cos 2ax \sin ax+a \sin 2ax \cos ax)}{8}=0
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax}{x^3}dx=\frac{3a}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \sin^2 ax \cos ax}{x^2}dx$$三角関数を切り離して、部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{3a}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin 2ax \sin ax}{x^2}dx\\
&=-\frac{3a}{8}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos 3ax- \cos ax}{x^2}dx\\
&=-\frac{3a}{8}\left\{\left[-\frac{\cos 3ax- \cos ax}{x}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-3a \sin 3ax +a \sin ax}{x}dx\right\}
\end{alignat}括弧の中をロピタルの定理を用いて計算します。$$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3ax – \cos ax}{x}=\displaystyle\lim_{x \to x}(-3a \sin 3ax +a \sin ax)=0$$よって
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax}{x^3}dx=\frac{3a^2}{8}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3 \sin 3ax -\sin ax}{x}dx\\
&             =\frac{3a^2}{8}\cdot \frac{π}{2}(3-1)=\frac{3πa^2}{8}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax}{x^3}dx=\frac{3πa^2}{8}$$







$$(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 ax}{x^2}dx=\left[-\frac{\sin^4 ax}{x}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{4a \sin^3 ax \cos ax}{x}dx$$括弧の中をロピタルの定理を用いて計算します。$$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin^4 ax}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}(4a \sin^3 ax \cos ax)=0$$よって
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 ax}{x^2}dx=4a \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \cos ax}{x}dx\\
&            =2a \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax \sin 2ax}{x}dx\\
&            =a \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos 2ax) \sin 2ax}{x}dx\\
&            =a \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\sin 2ax -\sin 2ax \cos 2ax}{x}dx\\
&            =\frac{a}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2 \sin 2ax-\sin 4ax}{x}dx\\
&            =\frac{a}{2} \cdot \frac{π}{2}(2-1)=\frac{πa}{4}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 ax}{x^2}dx=\frac{πa}{4}$$







\begin{alignat}{2}
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 ax}{x^4}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(-\frac{1}{3x^3}\right)’\sin^4 axdx\\
&                =\left[-\frac{\sin^4 ax}{3x^3}\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{4a \sin^3 ax \cos ax}{3x^3}dx
\end{alignat}括弧の中をロピタルの定理を用いて計算します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin^4 ax}{3x^3}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{4a \sin^3 ax \cos ax}{9x^2}dx\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{2a \sin^2 ax \sin 2ax}{9x^2}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{a(1-\cos 2ax)\sin 2ax}{9x^2}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{a(2 \sin 2ax -\sin 4ax)}{18x^2}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{a(4a \cos 2ax -4a \cos 4ax)}{36x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{a(-8a^2 \sin 2ax+16a^2 \sin 4ax)}{36}=0\\
\end{alignat}積分の計算を続けます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 ax}{x^4}dx=\frac{4a}{3}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \cos ax}{x^3}dx=\frac{2a}{3}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^2 ax \sin 2ax}{x^3}dx\\
&             =\frac{a}{3}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos 2ax)\sin 2ax}{x^3}dx=\frac{a}{6}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2 \sin 2ax -\sin 4ax}{x^3}dx\\
&             =\frac{a}{6}\displaystyle\int_0^{\infty} \left(-\frac{1}{2x^2}\right)’(2 \sin 2ax-\sin 4ax)dx\\
&             =\frac{a}{6}\left\{\left[-\frac{2\sin 2ax -\sin 4ax}{2x^2}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{4a \cos 2ax -4a \cos 4ax}{2x^2}dx\right\}\\
\end{alignat}括弧の中をロピタルの定理を用いて計算します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{2 \sin 2ax -\sin 4ax}{2x^2}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{4a \cos 2ax-4a \cos 4ax}{4x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} (-2a^2 \sin 2ax +4a^2 \sin 4ax)=0\\
\end{alignat}積分の計算を続けます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 ax}{x^4}dx=\frac{a^2}{3}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos 2ax -\cos 4ax}{x^2}dx\\
&             =\frac{a^2}{3}\left\{\left[-\frac{\cos 2ax -\cos 4ax}{x}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-2a \sin 2ax +4a \sin 4ax}{x}dx\right\}\\
\end{alignat}括弧の中をロピタルの定理を用いて計算します。$$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2ax -\cos 4ax}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}(-2a \sin 2ax +4a \sin 4ax)=0$$積分の計算を続けます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 ax}{x^4}dx=\frac{a^2}{3}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-2 \sin 2ax +4 \sin4ax}{x}dx\\
&             =\frac{a^2}{3} \cdot \frac{π}{2}(-2+4)=\frac{πa^3}{3}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 ax}{x^4}dx=\frac{πa^3}{3}$$






\begin{alignat}{2}
&(5) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^5 ax}{x^3}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(-\frac{1}{2x^2}\right)’\sin^5 axdx\\
&                =\left[-\frac{\sin^5 ax}{2x^2}\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{5a \sin^4 ax \cos ax}{2x^2}dx\\
\end{alignat}括弧の中をロピタルの定理を用いて計算します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin^5 ax}{2x^2}=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{5a \sin^4 ax \cos ax}{4x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{5a (4a \sin ^3 ax \cos^2 ax-a \sin^5 ax)}{4}=0\\
\end{alignat}積分の計算を続けます。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^5 ax}{x^3}dx=\frac{5a}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^4 ax \cos ax}{x^2}dx\\
&=\frac{5a}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^3 ax \sin 2ax}{x^2}dx\\
&=\frac{5a}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(3 \sin ax- \sin 3ax) \sin 2ax}{x^2}dx\\
&=\frac{5a}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3 \sin 2ax \sin ax- \sin 3ax \sin 2ax}{x^2}dx\\
&=-\frac{5a}{32}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3(\cos 3ax -\cos ax)-(\cos 5ax -\cos ax)}{x^2}dx\\
&=\frac{5a}{32}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos 5ax -3 \cos 3ax +2 \cos ax}{x^2}dx\\
&=\frac{5a}{32}\left\{\left[-\frac{\cos 5ax- 3 \cos 3ax +2 \cos ax}{x}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-5a \sin 5ax +9a \sin 3ax -2a \sin ax}{x}dx\right\}\\
\end{alignat}括弧の中をロピタルの定理を用いて計算します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5ax- 3 \cos 3ax +2 \cos ax}{x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}(-5a \sin 5ax +9a \sin 3ax -2a \sin ax)=0
\end{alignat}積分の計算を続けます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^5 ax}{x^3}dx=\frac{5a^2}{32}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-5 \sin 5ax +9 \sin 3ax -2 \sin ax}{x}dx\\
&             =\frac{5a^2}{32}\cdot \frac{π}{2}(-5+9-2)=\frac{5πa^2}{32}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin^5 ax}{x^3}dx=\frac{5πa^2}{32}$$

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