sinh^2ax/sinh^2x[-∞,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sinh^2 ax}{\sinh^2 x}dx=1-πa \cot πa  (-1 \lt a \lt 1)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sinh ax \sinh bx}{\cosh^2 bx}dx=\frac{πa}{2b^2}\sec \frac{πa}{2b}  (b \gt |a|)
\end{alignat}







<証明>

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sinh^2 ax}{\sinh^2 x}dx=2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sinh^2 ax}{\sinh^2 x}dx\\
&=2\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{e^{ax}-e^{-ax}}{2}\right)^2\left(\frac{2}{e^x-e^{-x}}\right)^2dx\\
&=2\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{e^{ax}-e^{-ax}}{e^x-e^{-x}}\right)^2dx\\
&=2\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{e^{(a-1)x}-e^{-(a+1)x}}{1-e^{-2x}}\right\}^2dx
\end{alignat}\(e^{-2x}=t\) と置きます。\((-2tdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=2\displaystyle\int_1^0 \left(\frac{t^{-\frac{a-1}{2}}-t^{\frac{a+1}{2}}}{1-t}\right)^2\left(-\frac{1}{2t}\right)dt\\
&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{t^{-\frac{a}{2}}-t^{\frac{a}{2}}}{1-t}\right)^2dt\\
&=\displaystyle\int_0^1(t^a-2+t^{-a})\left(\frac{1}{1-t}\right)’dt\\
\end{alignat}部分積分を行います。$$=\left[\frac{t^a-2+t^{-a}}{1-t}\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1 \frac{at^{a-1}-at^{-a-1}}{1-t}dt$$左の括弧はロピタルの定理を用いて計算します。$$\displaystyle\lim_{t \to 1} \frac{t^a-2+t^{-a}}{1-t}=\displaystyle\lim_{t \to 1} \frac{at^{a-1}-at^{-a-1}}{-1}=\displaystyle\lim_{t \to 1} a(t^{-a-1}-t^{a-1})=0$$となるので、元の積分計算に戻ると
\begin{alignat}{2}
&=2-a\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{a-1}-t^{-a-1}}{1-t}dt\\
&=2-a\{ψ(-a)-ψ(a)\}\\
&=2-a\left\{ψ(1-a)+\frac{1}{a}-ψ(a)\right\}\\
&=2-1-a\{ψ(1-a)-ψ(a)\}=1-πa \cot πa
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sinh^2 ax}{\sinh^2 x}dx=1-πa \cot πa$$







\((2)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sinh ax \sinh bx}{\cosh^2 bx}dx\\
&=-\frac{1}{b}\displaystyle\int_0^{\infty} \sinh ax\left(\frac{1}{\cosh bx}\right)’dx\\
&=-\frac{1}{b}\left\{\left[\frac{\sinh ax}{\cosh bx}\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{a \cosh ax}{\cosh bx}dx\right\}
\end{alignat}左の括弧について$$\frac{\sinh ax}{\cosh bx}=\frac{e^{ax}-e^{-ax}}{e^{bx}+e^{-bx}}=\frac{1-e^{-2ax}}{e^{(b-a)x}+e^{-(b+a)x}}$$となるので \(x \to \infty, x \to 0\) のどちらも \(0\) です。よって$$=\frac{a}{b}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh ax}{\cosh bx}dx$$また、この積分の結果は以下となります。(詳細はこちらです。)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh ax}{\cosh bx}dx=\frac{π}{2b}\sec \frac{πa}{2b}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sinh ax \sinh bx}{\cosh^2 bx}dx=\frac{a}{b} \cdot \frac{π}{2b}\sec \frac{πa}{2b}=\frac{πa}{2b^2}\sec \frac{πa}{2b}$$

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