sinhax/x^{p}sinhbx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sinh ax}{x^p \sinh bx}dx=Γ(1-p)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{1}{\{(2n+1)b-a\}^{1-p}}-\frac{1}{\{(2n+1)b+a\}^{1-p}}\right]\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh ax}{x^p \cosh bx}dx=Γ(1-p)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left[\frac{1}{\{(2n+1)b-a\}^{1-p}}+\frac{1}{\{(2n+1)b+a\}^{1-p}}\right]\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh ax}{x\cosh bx}dx=\log \tan \left(\frac{πa}{4b}+\frac{π}{4}\right)
\end{alignat}ただし、全て \(b \gt |a|, p \lt 1\)













\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sinh ax}{x^p\sinh bx}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x^p} \cdot \frac{e^{ax}-e^{-ax}}{2} \cdot \frac{2}{e^{bx}-e^{-bx}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x^p} \cdot (e^{ax}-e^{-ax})\cdot \frac{e^{-bx}}{1-e^{-2bx}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-p}\{e^{(a-b)x}-e^{-(a+b)x}\}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} e^{-2nbx}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_0^{\infty} \left[x^{-p}e^{-\{(2n+1)b-a\}x}-x^{-p}e^{-\{(2n+1)b+a\}x}\right]dx\\
\end{alignat}左の積分は \(\{(2n+1)b-a\}x=t\)、右の積分は \(\{(2n+1)b+a\}x=s\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{t}{(2n+1)b-a}\right\}^{-p}e^{-t} \cdot \frac{1}{(2n+1)b-a}dt-\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{s}{(2n+1)b+a}\right\}^{-p}e^{-s} \cdot \frac{1}{(2n+1)b+a}ds\right]\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{1}{\{(2n+1)b-a\}^{1-p}}\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-p}e^{-t}dt-\frac{1}{\{(2n+1)b+a\}^{1-p}}\displaystyle\int_0^{\infty}s^{-p}e^{-s}ds\right]\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{Γ(1-p)}{\{(2n+1)b-a\}^{1-p}}-\frac{Γ(1-p)}{\{(2n+1)b+a\}^{1-p}}\right]\\
&=Γ(1-p)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{1}{(2nb+b-a)^{1-p}}-\frac{1}{(2nb+b+a)^{1-p}}\right]\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sinh ax}{x^p \sinh bx}dx=Γ(1-p)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{1}{\{(2n+1)b-a\}^{1-p}}-\frac{1}{\{(2n+1)b+a\}^{1-p}}\right]$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh ax}{x^p\cosh bx}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x^p} \cdot \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2} \cdot \frac{2}{e^{bx}+e^{-bx}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x^p} \cdot (e^{ax}+e^{-ax})\cdot \frac{e^{-bx}}{1+e^{-2bx}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-p}\{e^{(a-b)x}+e^{-(a+b)x}\}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-2nbx}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\displaystyle\int_0^{\infty} \left[x^{-p}e^{-\{(2n+1)b-a\}x}+x^{-p}e^{-\{(2n+1)b+a\}x}\right]dx\\
\end{alignat}左の積分は \(\{(2n+1)b-a\}x=t\)、右の積分は \(\{(2n+1)b+a\}x=s\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left[\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{t}{(2n+1)b-a}\right\}^{-p}e^{-t} \cdot \frac{1}{(2n+1)b-a}dt+\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{s}{(2n+1)b+a}\right\}^{-p}e^{-s} \cdot \frac{1}{(2n+1)b+a}ds\right]\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left[\frac{1}{\{(2n+1)b-a\}^{1-p}}\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-p}e^{-t}dt+\frac{1}{\{(2n+1)b+a\}^{1-p}}\displaystyle\int_0^{\infty}s^{-p}e^{-s}ds\right]\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left[\frac{Γ(1-p)}{\{(2n+1)b-a\}^{1-p}}+\frac{Γ(1-p)}{\{(2n+1)b+a\}^{1-p}}\right]\\
&=Γ(1-p)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left[\frac{1}{(2nb+b-a)^{1-p}}+\frac{1}{(2nb+b+a)^{1-p}}\right]\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh ax}{x^p \cosh bx}dx=Γ(1-p)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left[\frac{1}{\{(2n+1)b-a\}^{1-p}}+\frac{1}{\{(2n+1)b+a\}^{1-p}}\right]$$








\((3)\) 次のように求める定積分を \(I(a)\) とします。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh ax}{x\cosh bx}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。(下記で用いた積分の詳細はこちらです)$$I’(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh ax}{\cosh bx}dx=\frac{π}{2b}\sec \frac{πa}{2b}$$両辺を \(a\) で積分します。$$I(a)=-\frac{π}{2b}\cdot \frac{2b}{π} \log \left|\tan \left(\frac{π}{4}-\frac{1}{2} \cdot \frac{πa}{2b}\right)\right|+C=-\log \tan \left(\frac{π}{4}-\frac{πa}{4b}\right)+C$$定数 \(C\) を定めます。$$I(0)=-\log \tan \frac{π}{4}+C=0,  C=0$$よって$$I(a)=-\log \tan \left(\frac{π}{4}-\frac{πa}{4b}\right)=-\log \cot \left(\frac{πa}{4b}+\frac{π}{4}\right)=\log \tan \left(\frac{πa}{4b}+\frac{π}{4}\right)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh ax}{x\cosh bx}dx=\log \tan \left(\frac{πa}{4b}+\frac{π}{4}\right)$$

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