(sin^{μ}x-csc^{μx})/cosx[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^μ x -\csc^μ x}{\cos x}dx=-\frac{π}{2}\tan \frac{μπ}{2}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^μ x -\sec^μ x}{\sin x}dx=-\frac{π}{2}\tan \frac{μπ}{2}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\sin^μ 2x-\csc^μ 2x)\cot \left(\frac{π}{4}+x\right)dx=\frac{1}{2μ}-\frac{π}{2}\csc μπ\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\cos^μ 2x-\sec^μ 2x)\tan xdx=\frac{1}{2μ}-\frac{π}{2}\csc μπ\\
\end{alignat}ただし、全て \(|μ|\lt 1\)










\((3)\) においては次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^p-x^{-p}}{1+x}dx=\frac{1}{p}-\frac{π}{\sin pπ}$$



<証明>

\((1)\) \(\sin 2x=t\) と置きます。\((2 \cos 2xdx=dt)\)$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^μ x -\csc^μ x}{\cos x}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^μ-t^{μ}}{1-t^2}dt$$\(t^2=s\) と置きます。\((2tdt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{μ}{2}}-s^{-\frac{μ}{2}}}{1-s}\cdot \frac{1}{2\sqrt{s}}ds=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{μ-1}{2}}-s^{-\frac{μ+1}{2}}}{1-s}ds\\
&=\frac{1}{2}\left\{ψ\left(\frac{1}{2}-\frac{μ}{2}\right)-ψ\left(\frac{1}{2}+\frac{μ}{2}\right)\right\}=-\frac{π}{2}\tan \frac{μπ}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^μ x -\csc^μ x}{\cos x}dx=-\frac{π}{2}\tan \frac{μπ}{2}$$






\((2)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^μ x -\sec^μ x}{\sin x}dx=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 \frac{\sin^μ t -\csc^μ t}{\cos t}(-dt)\\
&                   =\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^μ t -\csc^μ t}{\cos t}dt=-\frac{π}{2}\tan \frac{μπ}{2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^μ x -\sec^μ x}{\sin x}dx=-\frac{π}{2}\tan \frac{μπ}{2}$$







\((3)\) \(\sin 2x=t\) と置きます。\((2 \cos 2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\sin^μ 2x-\csc^μ 2x)\cot \left(\frac{π}{4}+x\right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 (t^μ-t^{-μ})\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^μ-t^{-μ}}{1+t}dt=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{μ}-\frac{π}{\sin μπ}\right)=\frac{1}{2μ}-\frac{π}{2}\csc μπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\sin^μ 2x-\csc^μ 2x)\cot \left(\frac{π}{4}+x\right)dx=\frac{1}{2μ}-\frac{π}{2}\csc μπ$$







\((4)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{4}-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\cos^μ 2x-\sec^μ 2x)\tan xdx\\
&=\displaystyle\int_{\frac{π}{4}}^0 (\sin^μ 2t-\csc^μ 2x)\tan \left(\frac{π}{4}-t\right)(-dt)\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} (\sin^μ 2t-\csc^μ 2x)\cot \left(\frac{π}{4}+t\right)dt=\frac{1}{2μ}-\frac{π}{2}\csc μπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\cos^μ 2x-\sec^μ 2x)\tan xdx=\frac{1}{2μ}-\frac{π}{2}\csc μπ$$


















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