{sin^n(2x)-1}tan{(π/4)+x}[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\sin^n 2x-1)\tan\left(\frac{π}{4}+x\right)dx=-\frac{1}{2}\{γ+ψ(n+1)\}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\cos^n 2x-1)\cot xdx=-\frac{1}{2}\{γ+ψ(n+1)\}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\sin^μ 2x-1)\,\mathrm{csc}^μ\, 2x\tan\left(\frac{π}{4}+x\right)dx=\frac{1}{2}\{γ+ψ(1-μ)\}\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\cos^μ 2x-1)\,\mathrm{sec}^μ\, 2x\cot xdx=\frac{1}{2}\{γ+ψ(1-μ)\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ \lt 1,n \in \mathrm{N}\)










<証明>

次の三角関数における等式を用います。
\begin{alignat}{2}
&(A) \tan\left(\frac{π}{4}+x\right)=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=\sqrt{\frac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x}}\\
&(B) \cot x=\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{1-\cos 2x}}\\
\end{alignat}






\((1)\) \(\sin 2x=t\) と置きます。\((2\cos 2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\sin^n 2x-1)\tan\left(\frac{π}{4}+x\right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 (t^n-1)\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}}dt=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1-t^n}{1-t}dt\\
&=-\frac{1}{2}\{ψ(n+1)-ψ(1)\}=-\frac{1}{2}\{γ+ψ(n+1)\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\sin^n 2x-1)\tan\left(\frac{π}{4}+x\right)dx=-\frac{1}{2}\{γ+ψ(n+1)\}$$







\((2)\) \(\cos 2x=t\) と置きます。\((-2\sin 2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\cos^n 2x-1)\cot xdx\\
&=\displaystyle\int_1^0 (t^n-1)\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-t^2}}\right)dt=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1-t^n}{1-t}dt\\
&=-\frac{1}{2}\{ψ(n+1)-ψ(1)\}=-\frac{1}{2}\{γ+ψ(n+1)\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\cos^n 2x-1)\cot xdx=-\frac{1}{2}\{γ+ψ(n+1)\}$$







\((3)\) \(\sin 2x=t\) と置きます。\((2\cos 2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\sin^μ 2x-1)\,\mathrm{csc}^μ\, 2x\tan\left(\frac{π}{4}+x\right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 (t^μ-1)t^{-μ}\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1-t^{-μ}}{1-t}dt\\
&=\frac{1}{2}\{ψ(1-μ)-ψ(1)\}=\frac{1}{2}\{γ+ψ(1-μ)\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\sin^μ 2x-1)\,\mathrm{csc}^μ\, 2x\tan\left(\frac{π}{4}+x\right)dx=\frac{1}{2}\{γ+ψ(1-μ)\}$$







\((4)\) \(\cos 2x=t\) と置きます。\((-2\sin 2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\cos^μ 2x-1)\,\mathrm{sec}^μ\, 2x\cot xdx\\
&=\displaystyle\int_1^0 (t^μ-1)t^{-μ}\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-t^2}}\right)dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1-t^{-μ}}{1-t}dt\\
&=\frac{1}{2}\{ψ(1-μ)-ψ(1)\}=\frac{1}{2}\{γ+ψ(1-μ)\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\cos^μ 2x-1)\,\mathrm{sec}^μ\, 2x\cot xdx=\frac{1}{2}\{γ+ψ(1-μ)\}$$

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