sin^{n}x/(cos^{n+1}x√cosx(cosx-sinx))[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\sin^n x}{\cos^{n+1} x\sqrt{\cos x(\cos x-\sin x)}}dx=\frac{2 \cdot (2n)!!}{(2n-1)!!}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\sin^n x}{\cos^{n+1} x\sqrt{\sin x(\cos x-\sin x)}}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}π\\
\end{alignat}ただし、どちらも \(n \in \mathrm{N}\)








<証明>

\((1)(2)\) のどちらも \( \tan x =t\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\sin^n x}{\cos^{n+1} x\sqrt{\cos x(\cos x-\sin x)}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\sin^n x}{\cos^{n+1} x \cos x\sqrt{1-\tan x)}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\tan x)^n \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\tan x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 t^n \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t}}dt=\displaystyle\int_0^1 t^n (1-t)^{-\frac{1}{2}}dt\\
&=B\left(n+1,\frac{1}{2}\right)=\frac{Γ(n+1)Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(n+\frac{3}{2}\right)}=\frac{\sqrt{π} \cdot n!}{\frac{1}{2}Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}\\
&=2 \sqrt{π} \cdot n! \cdot \frac{2^n}{(2n-1)!!}\cdot \frac{1}{\sqrt{π}}=\frac{2 \cdot (2n)!!}{(2n-1)!!}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\sin^n x}{\cos^{n+1} x\sqrt{\cos x(\cos x-\sin x)}}dx=\frac{2 \cdot (2n)!!}{(2n-1)!!}$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\sin^n x}{\cos^{n+1} x\sqrt{\sin x(\cos x-\sin x)}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\sin^n x}{\cos^{n+1} x (\sin x\cos x)^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-\tan x}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\sin^{n-\frac{1}{2}} x}{\cos^{n+\frac{3}{2}}x} \cdot \sqrt{1-\tan x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\tan x)^{n-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\tan x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 t^{n-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t}}dt=\displaystyle\int_0^1 t^{n-\frac{1}{2}} (1-t)^{-\frac{1}{2}}dt\\
&=B\left(n+\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ(n+1)}\\
&=\frac{(2n-1)!!}{2^n} \cdot \sqrt{π} \cdot \frac{\sqrt{π}}{n!}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}π
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\sin^n x}{\cos^{n+1} x\sqrt{\sin x(\cos x-\sin x)}}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}π$$

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