sin(ptanx)tanxとsin(pcotx)tanx[0,π/2]の定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sin (p \tan x) \tan xdx=\frac{πe^{-p}}{2}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin(p \cot x) \tan xdx=\frac{π}{2}(1-e^{-p})
\end{alignat}


<証明>
(1) \(p \tan x=t\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&\frac{p}{\cos^2 x}dx=dt, dx=\frac{\cos^2 x}{p}dx, \tan x=\frac{t}{p}\\
& \tan^2 x=\frac{t^2}{p^2}, 1+\tan^2 x=1+\frac{t^2}{p^2}, \frac{1}{ \cos^2 x}=\frac{p^2+t^2}{p^2}
\end{alignat}これらを代入します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sin (p \tan x) \tan xdx=\displaystyle\int_0^{\infty} \sin t \cdot \frac{t}{p} \cdot \frac{ \cos^2 x}{p}dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t \sin t}{p^2}\cdot \frac{p^2}{p^2+t^2}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t \sin t}{t^2+p^2}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin x}{x^2+p^2}dx
\end{alignat}
複素積分によって、この積分値を求めます。

下の図のように \(A \to B \to C \to D \to A\) に沿った(反時計回り)積分路において複素積分を行います。 \(\displaystyle f(z)=\frac{ze^{iz}}{z^2+p^2}\)とします。

このとき、半ドーナツの内部に含まれる特異点は \(z=ip\) のみであり、
これは1位の極です。この留数を計算します。
\begin{alignat}{2}
&Res(f(z),ip)=\displaystyle\lim_{z \to ip} (z-ip)\cdot \frac{ze^{iz}}{z^2+p^2}\\
&           =\displaystyle\lim_{z \to ip} \frac{ze^{iz}}{z+ip}=\frac{ipe^{-p}}{2ip}=\frac{e^{-p}}{2}
\end{alignat}よって、周回積分の値は$$\displaystyle\oint_C f(z)dz=2πi \cdot\frac{e^{-p}}{2}=πie^{-p}$$次にそれぞれの積分路における積分の計算をします。$$\displaystyle\oint_C=\displaystyle\int_{C_1}+\displaystyle\int_{C_2}+\displaystyle\int_{C_3}+\displaystyle\int_{C_4}$$

(A) \(C_2+C_4\) について \(C_2\) は \(x=-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_{C_4}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_2}f(z)dz\\
&=\displaystyle\int_r^R \frac{xe^{ix}}{x^2+p^2}dx+\displaystyle\int_{-R}^{-r} \frac{xe^{ix}}{x^2+p^2}dx\\
&=\displaystyle\int_r^R \frac{xe^{ix}}{x^2+p^2}dx+\displaystyle\int_R^r \frac{-te^{-it}}{t^2+p^2}(-dt)\\
&=\displaystyle\int_r^R \frac{xe^{ix}}{x^2+p^2}dx-\displaystyle\int_r^R \frac{te^{-it}}{t^2+p^2}dt\\
&=\displaystyle\int_r^R \frac{xe^{ix}}{x^2+p^2}dx-\displaystyle\int_r^R \frac{xe^{-ix}}{x^2+p^2}dx\\
&=\displaystyle\int_r^R \frac{x(e^{ix}-e^{-ix})}{x^2+p^2}dx=2i\displaystyle\int_r^R \frac{x \sin x}{x^2+p^2}dx
\end{alignat}
\(R \to \infty, r \to 0\) とすると$$\displaystyle\lim_{R \to \infty,r \to 0}\left\{\displaystyle\int_{C_4}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_2}f(z)dz\right\}=2i\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin x}{x^2+p^2}dx$$

(B) \(C_1\) について \(z=Re^{iθ}\) と置きます。\((dz=iRe^{iθ}dθ)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_{C_1} f(z)dx=\displaystyle\int_{C_1}\frac{ze^{iz}}{z^2+p^2}dz=\displaystyle\int_0^π \frac{Re^{iθ}\cdot e^{iRe^{iθ}}}{R^2e^{2iθ}+p^2}\cdot iRe^{iθ}dθ\\
&         =\displaystyle\int_0^π \frac{Re^{iθ}\cdot e^{iR( \cos θ+i \sin θ)}}{R^2e^{2iθ}+p^2}\cdot iRe^{iθ}dθ
\end{alignat}絶対値をつけて積分値を評価します。
\begin{alignat}{2}
&\left|\displaystyle\int_{C_1}f(z)dz\right| \leq \displaystyle\int_0^π \frac{Re^{-R \sin θ}}{R^2-p^2}\cdot Rdθ=\frac{R^2}{R^2-p^2}\displaystyle\int_0^π e^{-R \sin θ}dθ\\
&          \leq \frac{R^2}{R^2-p^2}\displaystyle\int_0^π e^{-R \cdot \frac{2}{π}θ}dθ=\frac{R^2}{R^2-p^2}\left[-\frac{π}{2R}e^{-\frac{2R}{π}θ}\right]_0^π\\
&          =-\frac{πR}{2(R^2-p^2)}(e^{-2R}-1)=\frac{πR}{2(R^2-p^2)}(1-e^{-2R})
\end{alignat}よって \(R \to \infty\) とすると$$\displaystyle\lim_{R \to \infty}\displaystyle\int_{C_1}f(z)dz=0$$\(C_3\) も \(C_1\) と同様に計算できて
\(R\) を \(r\) として \(r \to 0\) とすればよいから$$\displaystyle\lim_{r \to 0}\displaystyle\int_{C_3}f(z)dz=\displaystyle\lim_{r \to 0}\left\{\frac{πr}{2(r^2-p^2)}(1-e^{-2r})\right\}=0$$

以上より、複素積分の結果で得られる式は次のようになります。$$2i\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin x}{x^2+p^2}dx=πie^{-p}$$よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin x}{x^2+p^2}dx=\frac{πe^{-p}}{2}$$すなわち$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sin (p \tan x) \tan xdx=\frac{πe^{-p}}{2}$$



(2) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-s\) と置いて \(s\) を \(x\) に戻します。$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin(p \cot x) \tan xdx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin(p \tan x) \cot xdx$$この式と(1)の式を足し合わせます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sin (p \tan x) \tan xdx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin(p \cot x) \tan xdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sin (p \tan x) (\tan x+ \cot x)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sin (p \tan x) \left(\frac{ \sin x}{ \cos x}+ \frac{ \cos x}{ \sin x} \right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{\sin (p \tan x)}{ \sin x \cos x}dx\\
\end{alignat}\(p \tan x=t\) と置きます。((1)の始めの置き換えと同様です。)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \sin t}{ \sin x \cos x} \cdot \frac{ \cos^2 x}{p}dt=\frac{1}{p}\displaystyle\int_0^{\infty} \sin t \cdot \frac{1}{ \tan x}dt\\
&=\frac{1}{p}\displaystyle\int_0^{\infty} \sin t \cdot \frac{p}{t}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin t}{t}dt=\frac{π}{2}
\end{alignat}よって求める積分値は、この \(\displaystyle\frac{π}{2}\) から(1)で得た値を引けばよいので
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin(p \cot x) \tan xdx=\frac{π}{2}-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sin (p \tan x) \tan xdx\\
&                   =\frac{π}{2}-\frac{πe^{-p}}{2}=\frac{π}{2}(1-e^{-p})
\end{alignat}

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