sinpxcosqx/x(x^2+b^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x(x^2+b^2)}dx=\frac{π}{2b^2}(1-e^{-ab})\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x(b^2-x^2)}dx=\frac{π}{2b^2}(1-\cos ab)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin px \cos qx}{x(x^2+b^2)}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{π}{2b^2}(1-e^{-bp} \cosh bq)  (p \gt q)\\
\displaystyle \frac{π}{2b^2}e^{-bq}\sinh bp  (q \gt p)\\
\end{cases}
\end{alignat}ただし、全て \(a,b,p,q \gt 0\)








<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin ax}{x^2+b^2}dx=\frac{πe^{-ab}}{2}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{b^2-x^2}dx=-\frac{π}{2}\cos (ab)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)







\((1)\) 部分分数分解を行います。$$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+b^2}=\frac{1}{x(x^2+b^2)}$$\(A,B,C\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
A(x^2+b^2)+(Bx+C)x&=1\\
&\\
Ax^2+Ab^2+Bx^2+Cx&=1\\
&\\
(A+B)x^2+Cx+Ab^2&=1\\
&\\
A+B=0, C=0, Ab^2=1\\
\end{alignat}よって$$A=\frac{1}{b^2}, B=-\frac{1}{b^2}, C=0$$であるので
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x(x^2+b^2)}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \sin ax \cdot \frac{1}{b^2}\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+b^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{b^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin ax}{x^2+b^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{b^2}\left(\frac{π}{2}-\frac{πe^{-ab}}{2}\right)=\frac{π}{2b^2}(1-e^{-ab})\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x(x^2+b^2)}dx=\frac{π}{2b^2}(1-e^{-ab})$$









\((2)\) 部分分数分解を行います。$$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{b^2-x^2}=\frac{1}{x(b^2-x^2)}$$\(A,B,C\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
A(b^2-x^2)+(Bx+C)x&=1\\
&\\
Ab^2-Ax^2+Bx^2+Cx&=1\\
&\\
(B-A)x^2+Cx+Ab^2&=1\\
&\\
B-A=0, C=0, Ab^2=1\\
\end{alignat}よって$$A=\frac{1}{b^2}, B=\frac{1}{b^2}, C=0$$であるので
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x(b^2-x^2)}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \sin ax \cdot \frac{1}{b^2}\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{b^2-x^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{b^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin ax}{b^2-x^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{b^2}\left(\frac{π}{2}-\frac{π}{2}\cos ab\right)=\frac{π}{2b^2}(1-\cos ab)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x(b^2-x^2)}dx=\frac{π}{2b^2}(1-\cos ab)$$






\((3)\) 三角関数と分数を切り離します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin px \cos qx}{x(x^2+b^2)}dx&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (p+q)x+ \sin (p-q)x}{x(x^2+b^2)}dx\\
&=\frac{1}{2b^2}\displaystyle\int_0^{\infty} \{\sin (p+q)x+\sin (p-q)x\}\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+b^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{2b^2}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (p+q)x}{x}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (p-q)x}{x}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin (p+q)x}{x^2+b^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin (p-q)x}{x^2+b^2}dx\right\}
\end{alignat}
\((a)\)  \(p \gt q\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2b^2}\left\{\frac{π}{2}+\frac{π}{2}-\frac{π}{2}e^{-b(p+q)}-\frac{π}{2}e^{-b(p-q)}\right\}\\
&=\frac{π}{2b^2}\left(1-e^{-bq} \cdot \frac{e^{bq}+e^{-bq}}{2}\right)=\displaystyle \frac{π}{2b^2}(1-e^{-bp} \cosh bq)\\
\end{alignat}

\((b)\)  \(p \lt q\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2b^2}\left\{\frac{π}{2}-\frac{π}{2}-\frac{π}{2}e^{-b(q+p)}+\frac{π}{2}e^{-b(q-p)}\right\}\\
&=\frac{π}{2b^2} e^{-bq} \cdot \frac{e^{bp}-e^{-bp}}{2}=\displaystyle \frac{π}{2b^2}e^{-bq}\sinh bp\\
\end{alignat}
以上より
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin px \cos qx}{x(x^2+b^2)}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{π}{2b^2}(1-e^{-bp} \cosh bq)  (p \gt q)\\
\displaystyle \frac{π}{2b^2}e^{-bq}\sinh bp  (q \gt p)\\
\end{cases}
\end{alignat}

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