{sint-x^{n}sin(n+1)t+x^{n+1}sinnt}/(1-2xcost+x^{2})√log(1/x)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{\sin t-x^n \sin (n+1)t+x^{n+1} \sin nt}{(1-2x \cos t+x^2)\sqrt{\log \frac{1}{x}}}dx=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sin kt}{\sqrt{k}}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{\cos t-x-x^{n-1} \cos nt+x^n \cos (n-1)t}{(1-2x \cos t+x^2)\sqrt{\log \frac{1}{x}}} dx=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cos kt}{\sqrt{k}}
\end{alignat}ただし、全て \(|t| \lt π\)









<証明>

次の等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} p^k \sin kx=\frac{p \sin x-p^n \sin nx+p^{n+1} \sin (n-1)x}{1-2p \cos x+p^2}\\
&(B)  \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} p^k \cos kx=\frac{1-p \cos x-p^n \cos nx+p^{n+1} \cos (n-1)x}{1-2p \cos x+p^2}\\
&(C)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}}dx=\sqrt{\frac{π}{p}}  (p \gt 0)
\end{alignat}





\((1)\) \((A)\) の式において、求める積分の式に合わせて、文字を書き換えます。$$\frac{x \sin t-x^n \sin nt+x^{n+1} \sin (n-1)t}{1-2x \cos t+x^2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} x^k \sin kt$$両辺を \(x\) で割り、\(n-1\) を \(n\) にずらします。$$\frac{\sin t-x^n \sin (n+1)t+x^{n+1} \sin nt}{1-2x \cos t+x^2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x^{k-1} \sin kt$$両辺に \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}}\) を掛けて \([0,1]\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{\sin t-x^n \sin (n+1)t+x^{n+1} \sin nt}{(1-2x \cos t+x^2)\sqrt{\log \frac{1}{x}}}dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n \sin kt \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{k-1}}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}}dx=\displaystyle\sum_{k=1}^n \sin kt \cdot \sqrt{\frac{π}{k}}=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sin kt}{\sqrt{k}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\sin t-x^n \sin (n+1)t+x^{n+1} \sin nt}{(1-2x \cos t+x^2)\sqrt{\log \frac{1}{x}}}dx=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{\sin kt}{\sqrt{k}}$$






\((2)\) \((B)\) の式において、求める積分の式に合わせて、文字を書き換えます。$$\frac{1-x \cos t-x^n \cos nt+x^{n+1} \cos (n-1)t}{1-2x \cos t+x^2}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} x^k \cos kt=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} x^k \cos kt$$右辺の \(1\) を左辺に移項します。両辺を \(x\) で割ります。
\begin{alignat}{2}
\frac{1-x \cos t-x^n \cos nt+x^{n+1} \cos (n-1)t-(1-2x \cos t+x^2)}{1-2x \cos t+x^2}&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} x^k \cos kt\\
\frac{x \cos t-x^2-x^n \cos nt+x^{n+1} \cos (n-1)t}{1-2x \cos t+x^2}&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} x^k \cos kt\\
\frac{\cos t-x-x^{n-1} \cos nt+x^n \cos (n-1)t}{1-2x \cos t+x^2}&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} x^{k-1} \cos kt\\
\end{alignat}両辺に \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}}\) を掛けて \([0,1]\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{\cos t-x-x^{n-1} \cos nt+x^n \cos (n-1)t}{(1-2x \cos t+x^2)\sqrt{\log \frac{1}{x}}} dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \cos kt \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{k-1}}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}}dx=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \cos kt \cdot \sqrt{\frac{π}{k}}=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cos kt}{\sqrt{k}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\cos t-x-x^{n-1} \cos nt+x^n \cos (n-1)t}{(1-2x \cos t+x^2)\sqrt{\log \frac{1}{x}}} dx=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cos kt}{\sqrt{k}}$$

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