sinx/x√(1-k^2sin^{2}x)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tan x}{x\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tan x}{x\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)\\
\end{alignat}








<証明>

次のロバチェフスキーの積分定理を用います。(詳細はこちらです)

\((A)\) \(f(x+π)=f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) のとき$$\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx$$
\((B)\) \(f(x+π)=-f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) のとき$$\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x) \cos xdx$$






\((1)\) \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}\) とすると

\(f(x+π)=f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) を満たすので
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)$$









$$(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tan x}{x\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}dx$$\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos x\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}\) とすると

\(f(x+π)=-f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) を満たすので$$=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \cdot \frac{1}{\cos x\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tan x}{x\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)$$








\((3)\) \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}\) とすると

\(f(x+π)=f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) を満たすので
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)$$









$$(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tan x}{x\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}dx$$\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos x\sqrt{1+\cos^2 x}}\) とすると

\(f(x+π)=-f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) を満たすので$$=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \cdot \frac{1}{\cos x\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tan x}{x\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tan x}{x\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}dx=\boldsymbol{K}(k)$$

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