sinxcosx/x√(1-k^2cos^2x)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x \cos x}{x\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx=\frac{1}{k^2}\{\boldsymbol{K}(k)-\boldsymbol{E}(k)\}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x \cos^2 x}{x\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx=\frac{1}{k^2}\{\boldsymbol{K}(k)-\boldsymbol{E}(k)\}\\
\end{alignat}









<証明>

次のロバチェフスキーの積分定理を用います。(詳細はこちらです)

\((A)\) \(f(x+π)=f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) のとき$$\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx$$
\((B)\) \(f(x+π)=-f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) のとき$$\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x) \cos xdx$$





\((1)\) \(\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}\) とすると

\(f(x+π)=-f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) を満たすので
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x \cos x}{x\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^2 x}{\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx\\
&=\frac{1}{k^2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{k^2\cos^2 x}{\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx=-\frac{1}{k^2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(1-k^2\cos^2 x)-1}{\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx\\
&=-\frac{1}{k^2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}dx+\frac{1}{k^2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx\\
&=-\frac{1}{k^2}\boldsymbol{E}(k)+\frac{1}{k^2}\boldsymbol{K}(k)=\frac{1}{k^2}\{\boldsymbol{K}(k)-\boldsymbol{E}(k)\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x \cos x}{x\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx=\frac{1}{k^2}\{\boldsymbol{K}(k)-\boldsymbol{E}(k)\}$$







\((2)\) \(\displaystyle f(x)=\frac{\cos^2 x}{\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}\) とすると

\(f(x+π)=f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) を満たすので$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x \cos^2 x}{x\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^2 x}{\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx$$これは \((1)\) で途中に現れた積分と同じであるので、以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x \cos^2 x}{x\sqrt{1-k^2 \cos^2 x}}dx=\frac{1}{k^2}\{\boldsymbol{K}(k)-\boldsymbol{E}(k)\}$$




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