sinxlog(tanx)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x\log( \tan x)dx=- \log 2\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x\log( \tan x)dx=\log 2
\end{alignat}









<証明>

\((1)\) \( \sin x=t\) と置きます。(\( \cos xdx=dt\))
\begin{alignat}{2}
& \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \log ( \tan x)dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \log \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}dt\\
&=\displaystyle\int_0^1 ( \log t- \log \sqrt{1-t^2})dt\\
&=\displaystyle\int_0^1 \left\{ \log t-\frac{1}{2} \log (1-t)(1+t)\right\}dt\\
&=\displaystyle\int_0^1 \left\{ \log t-\frac{1}{2} \log (1-t)-\frac{1}{2} \log(1+t)\right\}dt\\
\end{alignat}それぞれ積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \log tdt=t \log t-t\\
&\displaystyle\int \log (1-t)dt=-\displaystyle\int (-1) \log (1-t)dt\\
&            =-(1-t) \log (1-t)+\displaystyle\int (1-t) \cdot \frac{-1}{1-t}dt\\
&            =-(1-t) \log (1-t)-t\\
&\\
&\displaystyle\int \log (1+t)dt=(1+t) \log (1+t)-\displaystyle\int (1+t) \cdot \frac{1}{1+t}dt\\
&            =(1+t) \log (1+t)-t
\end{alignat}となるので、
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^1 \left\{ \log t-\frac{1}{2} \log (1-t)-\frac{1}{2} \log (1+t)\right\}dt\\
&=\left[t \log t-t+\frac{1}{2}(1-t) \log (1-t)+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}(1+t) \log (1+t)+\frac{1}{2}t\right]_0^1\\
&=\left[t \log t+\frac{1}{2}(1-t) \log (1-t)-\frac{1}{2}(1+t) \log (1+t)\right]_0^1=- \log 2
\end{alignat}










\((2)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-r\) と置きます。(\(dx=-dr\))
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \log( \tan x)dx=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 \cos r \log( \cot r)(-dr)\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos r \log( \cot r)dr=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \log ( \cot x)dx
\end{alignat}\((1)\) の式を加えて引きます。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \log( \cot x)dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \log ( \tan x)dx+\log 2\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x\{\log ( \cot x)+ \log ( \tan x)\}dx+ \log 2\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \log ( \cot x \cdot \tan x)\}dx+\log 2\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \log1dx+log2=\log 2
\end{alignat}

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です