(sinx)^{μ}(cosx)^{v}/(1-k^{2}sin^{2}x)^p[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{2μ-1} x \cos^{2v-1} x}{(1-k^2 \sin^2 x)^p}dx=\frac{1}{2}B(μ,v) {}_2 F_1 (p,μ;μ+v;k^2)  (μ,v \gt 0)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{2μ-1} x \cos^{2v-1} x}{(1-k^2 \sin^2 x)^{μ+v}}dx=\frac{B(μ,v)}{2(1-k^2)^μ}  (μ,v \gt 0)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{μ} x \cos^{v} x}{(a-b \cos^2 x)^p}dx  (μ+1 \gt 0,\,v+1 \gt 0,\,a \gt |b| \gt 0)\\
&=\frac{1}{2a^p}B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}\right){}_2F_1\left(p,\frac{v+1}{2};\frac{μ+v}{2}+1;\frac{b}{a}\right)\\
\end{alignat}











<証明>

次の級数展開の式を用います。(詳細はこちらです)$$(1+x)^α=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{α(α-1)(α-2) \cdots (α-n+1)}{n!}x^n\\$$

上記の式を用いて、予め級数の準備をします。

\((A)\) \(\displaystyle \frac{1}{(1-k^2 \sin^2 x)^p}\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
(1-k^2 \sin^2 x)^{-p}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{-p(-p-1)(-p-2) \cdots (-p-n+1)}{n!} (-k^2 \sin^2 x)^n\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1)(p+2) \cdots (p+n-1)}{n!} (k^2 \sin^2 x)^n\\
\end{alignat}

\((B)\) \(\displaystyle \frac{1}{(1-k^2)^μ}\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
(1-k^2)^{-μ}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{-μ(-μ-1)(-μ-2) \cdots (-μ-n+1)}{n!} (-k^2)^n\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{μ(μ+1)(μ+2) \cdots (μ+n-1)}{n!} k^{2n}\\
\end{alignat}

\((C)\) \(\displaystyle \frac{1}{\left(1-\frac{b}{a} \cos^2 x\right)^p}\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
\left(1-\frac{b}{a} \cos^2 x\right)^{-p}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{-p(-p-1)(-p-2) \cdots (-p-n+1)}{n!} \left(-\frac{b}{a} \cos^2 x\right)^n\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1)(p+2) \cdots (p+n-1)}{n!} \left(\frac{b}{a} \cos^2 x\right)^n\\
\end{alignat}




\((1)\) \((A)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{2μ-1} x \cos^{2v-1} x}{(1-k^2 \sin^2 x)^p}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2μ-1} x \cos^{2v-1} x \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1)(p+2) \cdots (p+n-1)}{n!} (k^2 \sin^2 x)^n\right\}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1)(p+2) \cdots (p+n-1)}{n!} \cdot k^{2n} \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2n+2μ-1} x \cos^{2v-1} xdx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1)(p+2) \cdots (p+n-1)}{n!} \cdot k^{2n} \cdot \frac{1}{2}B(n+μ,v)\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1)(p+2) \cdots (p+n-1)}{n!} \cdot k^{2n} \cdot \frac{μ+n-1}{μ+v+n-1} \cdot \frac{μ+n-2}{μ+v+n-2} \cdots \frac{μ}{μ+v}B(μ,v)\\
&=\frac{1}{2}B(μ,v)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(p+n-1)(p+n-2) \cdots (p+1)p \cdot (μ+n-1)(μ+n-2) \cdots (μ+1)μ}{(μ+v+n-1)(μ+v+n-2) \cdots (μ+v+1)(μ+v)} \cdot \frac{(k^2)^n}{n!}\\
&=\frac{1}{2}B(μ,v)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(p)_n(μ)_n}{(μ+v)_n}\cdot \frac{(k^2)^n}{n!}=\frac{1}{2}B(μ,v) {}_2 F_1 (p,μ;μ+v;k^2)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{2μ-1} x \cos^{2v-1} x}{(1-k^2 \sin^2 x)^p}dx=\frac{1}{2}B(μ,v) {}_2 F_1 (p,μ;μ+v;k^2)  (μ,v \gt 0)$$







\((2)\) \((1)\) の式で \(p=μ+v\) とします。途中 \((B)\) の級数を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{2μ-1} x \cos^{2v-1} x}{(1-k^2 \sin^2 x)^{μ+v}}dx\\
&=\frac{1}{2}B(μ,v) {}_2 F_1 (μ+v,μ;μ+v;k^2)=\frac{1}{2}B(μ,v)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(μ+v)_n(μ)_n}{(μ+v)_n}\cdot \frac{(k^2)^n}{n!}=\frac{1}{2}B(μ,v)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (μ)_n \cdot \frac{(k^2)^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{μ(μ+1)(μ+2) \cdots (μ+n-1)}{n!} k^{2n}=\frac{1}{2}B(μ,v) \cdot \frac{1}{(1-μ^2)^μ}=\frac{B(μ,v)}{2(1-k^2)^μ}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{2μ-1} x \cos^{2v-1} x}{(1-k^2 \sin^2 x)^{μ+v}}dx=\frac{B(μ,v)}{2(1-k^2)^μ}  (μ,v \gt 0)$$







\((3)\) 分母から\(a\) を括り出し、\((C)\) の級数を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{μ} x \cos^{v} x}{(a-b \cos^2 x)^p}dx=\frac{1}{a^p}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{μ} x \cos^{v} x}{\left(1-\frac{b}{a} \cos^2 x\right)^p}dx\\
&=\frac{1}{a^p} \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^μ x \cos^v xdx\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1)(p+2) \cdots (p+n-1)}{n!} \left(\frac{b}{a} \cos^2 x\right)^n\right\}\\
&=\frac{1}{a^p}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1)(p+2) \cdots (p+n-1)}{n!} \left(\frac{b}{a}\right)^n \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^μ x \cos^{v+2n} xdx\\
&=\frac{1}{a^p}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1)(p+2) \cdots (p+n-1)}{n!} \left(\frac{b}{a}\right)^n \cdot \frac{1}{2} B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}+n\right)\\
&=\frac{1}{2a^p}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(p+1)(p+2) \cdots (p+n-1)}{n!} \left(\frac{b}{a}\right)^n \cdot \frac{\frac{v+1}{2}+n-1}{\frac{μ+v}{2}+n}\cdot \frac{\frac{v+1}{2}+n-2}{\frac{μ+v}{2}+n-1} \cdots \frac{\frac{v+1}{2}+1}{\frac{μ+v}{2}+2} \cdot \frac{\frac{v+1}{2}}{\frac{μ+v}{2}+1}B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2a^p}B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}\right) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(p+n-1)(p+n-2) \cdots (p+1)p \cdot \left(\frac{v+1}{2}+n-1\right)\left(\frac{v+1}{2}+n-2\right) \cdots \left(\frac{v+1}{2}+1\right) \frac{v+1}{2}}{\left(\frac{μ+v}{2}+n\right)\left(\frac{μ+v}{2}+n-1\right) \cdots \left(\frac{μ+v}{2}+2\right) \left(\frac{μ+v}{2}+1\right)} \cdot \frac{1}{n!} \left(\frac{b}{a}\right)^n\\
&=\frac{1}{2a^p}B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}\right){}_2F_1\left(p,\frac{v+1}{2};\frac{μ+v}{2}+1;\frac{b}{a}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{μ} x \cos^{v} x}{(a-b \cos^2 x)^p}dx=\frac{1}{2a^p}B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}\right){}_2F_1\left(p,\frac{v+1}{2};\frac{μ+v}{2}+1;\frac{b}{a}\right)  (μ+1 \gt 0,\,v+1 \gt 0,\,a \gt |b| \gt 0)$$

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