|sinx|の無限積表示

$$|\sin x|=\frac{1}{2}\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty}\sqrt[2^{n+1}]{| \tan (2^nx)|}$$

<証明>
次の式を \(T\) と置いて変形していきます。
$$T=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \cdots +\frac{1}{2^n}}| \sin x|$$
ここで \(| \sin x|\) にルートを付けて \(| \cos x|\) で割り \(| \cos x|\) を掛けます。
\(| \sin x|\) を外に出して係数に2を用意して \(| \sin 2x|\) を作ります。  
\begin{alignat}{2}
&| \sin x|=\sqrt{| \sin x|^2}=\sqrt{\left|\frac{ \sin x}{ \cos x}\right|}\sqrt{| \sin x \cos x|}\\
&     =\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\sqrt{| \tan x|}\sqrt{|2 \sin x \cos x|}=\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\sqrt{| \tan x|}\sqrt{| \sin 2x|}
\end{alignat}このとき元の式は次のようになります。 $$T=2^{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \cdots +\frac{1}{2^n}}\frac{1}{2}\sqrt{| \tan x|}\sqrt{| \sin 2x|}$$ 同様に \(| \sin 2x|\) のルートを4乗根にして2乗にします。
\(| \cos 2x|\) で割り \(| \cos 2x|\) を掛けます。
\(| \sin 2x|\) を外に出して係数に2を用意して \(| \sin 4x|\) を作ります。  
\begin{alignat}{2}
&\sqrt{| \sin 2x|}=\sqrt[4]{| \sin 2x|^2}=\sqrt[4]{\left|\frac{ \sin 2x}{ \cos 2x}\right|}\sqrt[4]{| \sin 2x \cos 2x|}\\
&        =\frac{1}{2^{\frac{1}{4}}}\sqrt{| \tan 2x|}\sqrt[4]{|2 \sin 2x \cos 2x|}=\frac{1}{2^{\frac{1}{4}}}\sqrt[4]{| \tan 2x|}\sqrt[4]{| \sin 4x|}
\end{alignat} 元の式は次のようになります。$$T=2^{\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+ \cdots +\frac{1}{2^n}}\sqrt{| \tan x|}\sqrt[4]{| \tan 2x|}\sqrt[4]{| \sin 4x|}$$ 同様のこと行えば $$T=2^{\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+ \cdots +\frac{1}{2^n}}\sqrt{| \tan x|}\sqrt[4]{| \tan 2x|}\sqrt[8]{| \tan 4x|}\sqrt[8]{| \sin 8x|}$$$$              \cdots$$
\begin{alignat}{2}
&T=2^{\frac{1}{2^n}}\sqrt{| \tan x|}\sqrt[4]{| \tan 2x|}\sqrt[8]{| \tan 4x|} \cdots  \sqrt[2^n]{| \tan (2^{n-1}x)|} \sqrt[2^n]{| \sin (2^{n-1}x) \cos (2^{n-1}x)|}\\
& =\sqrt{| \tan x|}\sqrt[4]{| \tan 2x|}\sqrt[8]{| \tan 4x|} \cdots  \sqrt[2^n]{| \tan (2^{n-1}x)|} \sqrt[2^n]{|2 \sin (2^{n-1}x) \cos (2^{n-1}x)|} \\
& =\sqrt{| \tan x|}\sqrt[4]{| \tan 2x|}\sqrt[8]{| \tan 4x|} \cdots  \sqrt[2^n]{| \tan (2^{n-1}x)|} \sqrt[2^n]{| \sin (2^nx)|}
\end{alignat}\(T\) を元に戻します。 $$2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \cdots +\frac{1}{2^n}}| \sin x|=\sqrt{| \tan x|}\sqrt[4]{| \tan 2x|}\sqrt[8]{| \tan 4x|} \cdots  \sqrt[2^n]{| \tan (2^{n-1}x)|} \sqrt[2^n]{| \sin (2^nx)|}$$ここで \(n \to \infty\) とすると
\begin{alignat}{2}
&\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \cdots +\frac{1}{2^n}+ \cdots=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}=1\\
&\displaystyle\lim_{n \to \infty} | \sin (2^nx)|^\frac{1}{2^n}=1
\end{alignat} となります。さらに \( \tan\) を無限積で表すと $$2| \sin x|=\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty}\sqrt[2^{n+1}]{| \tan (2^nx)|}$$ 両辺を2で割れば次式を得ます。 $$| \sin x|=\frac{1}{2}\displaystyle\prod_{n=0}^{\infty}\sqrt[2^{n+1}]{| \tan (2^nx)|}$$

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