(sin^{μ}x+sin^{v}x)cotx/(sin^{μ+v}x+1)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\sin^μ x+\sin^v x)\cot x}{\sin^{μ+v} x+1}dx=\frac{π}{μ+v}\sec\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\cos^μ x+\cos^v x)\tan x}{\cos^{μ+v} x+1}dx=\frac{π}{μ+v}\sec\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\sin^μ x-\sin^v x)\cot x}{\sin^{μ+v} x-1}dx=\frac{π}{μ+v}\tan\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\cos^μ x-\cos^v x)\tan x}{\cos^{μ+v} x-1}dx=\frac{π}{μ+v}\tan\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ,v \gt 0\)









<証明>

\((1)(3)\) は \(\sin x=t\) と置いた後 \((\cos xdx=dt)\)

\(t^{μ+v}=s\) と置きます。\([(μ+v)t^{μ+v-1}dt=ds]\)

\((2)(4)\) は \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置いて前問の結果を用います。\((dx=-dt)\)



\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\sin^μ x+\sin^v x)\cot x}{\sin^{μ+v} x+1}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\sin^{μ-1} x+\sin^{v-1} x)}{\sin^{μ+v} x+1}\cdot \cos xdx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ-1}+t^{v-1}}{1+t^{μ+v}}dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{μ-1}{μ+v}}+s^{\frac{v-1}{μ+c}}}{1+s} \cdot \frac{1}{(μ+v)s^{\frac{μ+v-1}{μ+v}}}ds\\
&=\frac{1}{μ+v}\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{-\frac{v}{μ+v}}+s^{-\frac{μ}{μ+v}}}{1+s}ds=\frac{1}{μ+v}B\left(1-\frac{v}{μ+v},1-\frac{μ}{μ+v}\right)\\
&=\frac{1}{μ+v}B\left\{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{μ-v}{μ+v}\right),\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{μ-v}{μ+v}\right)\right\}=\frac{π}{μ+v}\sec\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\sin^μ x+\sin^v x)\cot x}{\sin^{μ+v} x+1}dx=\frac{π}{μ+v}\sec\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)$$




\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\cos^μ x+\cos^v x)\tan x}{\cos^{μ+v} x+1}dx=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 \frac{(\sin^μ t+\sin^v t)\cot t}{\sin^{μ+v} t+1}(-dt)\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\sin^μ t+\sin^v t)\cot t}{\sin^{μ+v} t+1}dt=\frac{π}{μ+v}\sec\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\cos^μ x+\cos^v x)\tan x}{\cos^{μ+v} x+1}dx=\frac{π}{μ+v}\sec\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)$$








\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\sin^μ x-\sin^v x)\cot x}{\sin^{μ+v} x-1}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\sin^{μ-1} x-\sin^{v-1} x)}{\sin^{μ+v} x-1}\cdot \cos xdx\\
&=-\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ-1}-t^{v-1}}{1-t^{μ+v}}dt=-\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{μ-1}{μ+v}}-s^{\frac{v-1}{μ+c}}}{1-s} \cdot \frac{1}{(μ+v)s^{\frac{μ+v-1}{μ+v}}}ds\\
&=-\frac{1}{μ+v}\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{-\frac{v}{μ+v}}-s^{-\frac{μ}{μ+v}}}{1-s}ds=-\frac{1}{μ+v}\left\{ψ\left(1-\frac{μ}{μ+v}\right)-ψ\left(1-\frac{v}{μ+v}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{μ+v}\left\{ψ\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{μ-v}{μ+v}\right)-ψ\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{μ-v}{μ+v}\right)\right\}=\frac{π}{μ+v}\tan\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\sin^μ x-\sin^v x)\cot x}{\sin^{μ+v} x-1}dx=\frac{π}{μ+v}\tan\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)$$








\begin{alignat}{2}
&(4) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\cos^μ x-\cos^v x)\tan x}{\cos^{μ+v} x-1}dx=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 \frac{(\sin^μ t-\sin^v t)\cot t}{\sin^{μ+v} t-1}(-dt)\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\sin^μ t-\sin^v t)\cot t}{\sin^{μ+v} t-1}dt=\frac{π}{μ+v}\tan\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\cos^μ x-\cos^v x)\tan x}{\cos^{μ+v} x-1}dx=\frac{π}{μ+v}\tan\left(\frac{μ-v}{μ+v}\cdot \frac{π}{2}\right)$$

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