シッソイド

シッソイド…ある線分 (OA\) を直径とする円 \(C\) において、点 \(A\) における接線を引く。次に点 \(O\) を通る直線を引くと円 \(C\) と接線と交わるので二つの交点を順に \(K,N\) として \(KN=OQ\) となるような点 \(Q\) を半直線 \(OK\) 上に取る。このとき、点 \(O\) を通る直線を動かしたときの点 \(Q\) の軌跡がシッソイドです。


\((1)\) 極方程式 \(\displaystyle r=\frac{a \sin^2 θ}{ \cos θ}\)

\((2)\) 直交座標 \(x^3+(x-a)y^2=0\)

\((3)\) パラメータ$$x=\frac{at^2}{1+t^3}  y=\frac{at^3}{1+t^3}$$









\((1)\) 極座標表示

上図はシッソイドの説明通りの図です。$$ON=\frac{a}{\cos θ},  OK=a \cos θ$$$$r=OQ=ON-OK= \frac{a}{ \cos θ}-a \cos θ$$$$ =a\left(\frac{1}{ \cos θ}- \cos θ\right)=a\cdot \frac{1- \cos^2 θ}{ \cos θ}=\frac{a \sin^2 θ}{ \cos θ}$$






\((2)\) 直交座標表示

  極方程式より $$r \cos θ=a \sin^2 θ$$$$r^2\cdot r \cos θ=ar^2 \sin^2 θ$$$$(x^2+y^2)x=ay^2$$$$x^3+xy^2-ay^2=0$$$$x^3+(x-a)y^2=0$$






\((3)\) パラメータ表示
\begin{cases}
x^3+(x-a)y^2=0 \\
y=tx
\end{cases} $$x^3+(x-a)t^2x^2=0$$$$x^3+t^3x^3-at^2x^2=0$$$$(1+t^3)x^3=at^2x^2 (x≠0)$$$$(1+t^3)x=at^2$$$$ x=\frac{at^2}{1+t^3}  y=\frac{at^3}{1+t^3} $$

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