si(x)xe^{-μx^2}[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{si}(x)xe^{-μx^2}dx=\frac{π}{4μ}\left\{Φ\left(\frac{1}{2\sqrt{μ}}\right)-1\right\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{ci}(x)e^{-μx^2}dx=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{μ}}\mathrm{Ei}\left(-\frac{1}{4μ}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ \gt 0\)












<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cos bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}\exp \left(-\frac{b^2}{4a}\right)  (a \gt 0)$$





\((1)\) \(t=xs\) と置きます。\((dt=xds)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{si}(x)xe^{-μx^2}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(-\displaystyle\int_x^{\infty} \frac{\sin t}{t}dt\right)xe^{-μx^2}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(-\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin xs}{xs} \cdot xds\right)xe^{-μx^2}dx\\
&=-\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{s}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-μx^2} \sin sxdx\right)ds\\
&=\frac{1}{2μ}\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{s}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} (e^{-μx^2})’ \sin sxdx\right\}
ds\\
&=\frac{1}{2μ}\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{s} \left\{ [e^{-μx^2} \sin sx]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx^2} \cdot s \cos sx dx\right\}ds\\
&=-\frac{1}{2μ}\displaystyle\int_1^{\infty} \left(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx^2} \cos sxdx\right) ds
\end{alignat}\((A)\) の式を代入した後 \(\displaystyle \frac{s}{2\sqrt{μ}}=r\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{2\sqrt{μ}}ds=dr\right)\)
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{2μ} \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{μ}}
e^{-\frac{s^2}{4μ}}ds=-\frac{1}{4μ}\sqrt{\frac{π}{μ}}\displaystyle\int_1^{\infty} e^{-\frac{s^2}{4μ}}ds\\
&=-\frac{1}{4μ}\sqrt{\frac{π}{μ}} \displaystyle\int_{\frac{1}{2\sqrt{μ}}}^{\infty} e^{-r^2} \cdot 2\sqrt{μ}dr=-\frac{\sqrt{π}}{2μ}\displaystyle\int_{\frac{1}{2\sqrt{μ}}}^{\infty} e^{-r^2}dr\\
&=-\frac{\sqrt{π}}{2μ} \cdot \frac{\sqrt{π}}{2}\left\{1-Φ\left(\frac{1}{2\sqrt{μ}}\right)\right\}=\frac{π}{4μ}\left\{Φ\left(\frac{1}{2\sqrt{μ}}\right)-1\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{si}(x)xe^{-μx^2}dx=\frac{π}{4μ}\left\{Φ\left(\frac{1}{2\sqrt{μ}}\right)-1\right\}$$







\((2)\) \(t=xs\) と置きます。\((dt=xds)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{ci}(x)e^{-μx^2}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(-\displaystyle\int_x^{\infty} \frac{\cos t}{t}dt\right)e^{-μx^2}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(-\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\cos xs}{xs} \cdot xds\right)e^{-μx^2}dx\\
&=-\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{s}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx^2} \cos sxdx\right)ds\\
\end{alignat}\((A)\) の式を代入した後 \(\displaystyle \frac{s^2}{4μ}=r\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{s}{2μ}ds=dr\right)\)
\begin{alignat}{2}
&=-\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{s}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{μ}} e^{-\frac{s^2}{4μ}}ds=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{μ}}\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-\frac{s^2}{4μ}}}{s}ds\\
&=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{μ}} \displaystyle\int_{\frac{1}{4μ}}^{\infty} \frac{e^{-r}}{s} \cdot \frac{2μ}{s}dr=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{μ}}\cdot 2μ \displaystyle\int_{\frac{1}{4μ}}^{\infty} e^{-r} \cdot \frac{1}{4μr}dr\\
&=-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{μ}}\displaystyle\int_{\frac{1}{4μ}}^{\infty} \frac{e^{-r}}{r}dr=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{μ}}\mathrm{Ei}\left(-\frac{1}{4μ}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{ci}(x)e^{-μx^2}dx=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{μ}}\mathrm{Ei}\left(-\frac{1}{4μ}\right)$$

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