相加・相乗平均

\((1)\) \(2\) 項: \(a \gt 0 , b \gt 0\) のとき

     \(a+b \geq 2\sqrt{ab} \) (等号成立は \(a=b\))

\((2)\)  \(3\) 項: \(a \gt 0 , b \gt 0 , c \gt 0\) のとき

     \( a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \) (等号成立は \(a=b=c\))

\((3)\) \(4\) 項: \(a \gt 0 , b \gt 0 , c \gt 0\ , d \gt 0 \) のとき

     \( a+b+c+d \geq 4\sqrt[4]{abcd} \) (等号成立は \(a=b=c=d\))

\(4)\) \(n\)項: \(a \gt 0 , a_1 \gt 0 , a_2 \gt 0\ \cdots a_n \gt 0 \) のとき

     \( a_1+a_2+a_3+ \cdots +a_n \geq n\sqrt[n]{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \) 

    (等号成立は \(a_1=a_2=a_3= \cdots =a_n\))







<証明>

\((1)\) 次式の左辺は \(2\) 乗であるので、明らかに成り立ちます。$$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0 (a,b \gt 0)$$展開します。$$a-2\sqrt{ab}+b \geq 0$$移行します。以上より

        \(a+b \geq 2\sqrt{ab}\) (等号成立条件は \(a=b\) )







\((2)\) 次の式を変形します。
\begin{alignat}{2}
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx&=\frac{1}{2}(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2)\\
&=\frac{1}{2}\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\} \geq 0 \\
\end{alignat}よって$$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx \geq 0 $$この式の両辺に \(x+y+z\) を掛けます。\((x,y,z \gt 0)\)
\begin{alignat}{2}
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)& \geq 0 \\
x^3+y^3+z^3-3xy& \geq 0\\
x^3+y^3+z^3& \geq 3xyz\\
\end{alignat}さらに \(x^3=a,\,y^3=b,\,z^3=c\) と置くことで次式を得ます。\((a \gt 0,\,b \gt 0,\,c \gt 0)\)

        \(a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}\) (等号成立は \(a=b=c\) )








\((3)\) \(2\) 項の相加相乗平均の式 \(a+b \geq 2\sqrt{ab}\) において

\(a=x^4,\,b=y^4\) と \(a=z^4,\,b=w^4\) をそれぞれ代入すると$$x^4+y^4 \geq 2x^2y^2,  z^4+w^4 \geq 2z^2w^2$$これらを足し合わせます。$$x^4+y^4+z^4+w^4 \geq 2(x^2y^2+z^2w^2)$$さらに \(2\) 項の相加相乗平均の式 \(a+b \geq 2\sqrt{ab}\) において$$a=x^2y^2,  b=z^2w^2$$を代入すると$$x^2y^2+z^2w^2 \geq 2xyzw$$であるから、この式両辺を \(2\) 倍したものと、先程の \(2\) つの不等式を用いることで$$x^4+y^4+z^4+w^4 \geq 2x^2y^2+2z^2w^2 \geq 4xyzw$$\(x^4=a,\,y^4=b,\,z^4=c,\,w^4=d\) と置けば、次式を得ます。以上より

        \(a+b+c+d \geq 4\sqrt[4]{abcd}\)  (等号成立は \(a=b=c=d\))










\((4)\) 下の図のように \(y= \log x\) 上に \(n\) 個の点を取ります。

   この \(n\) 個の点の平均の座標を\(A\) とおくと
$$A\left( \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k , \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n \log a_k \right)$$

点 \(A\) の \(x\) 座標と同じである点 \(B\) を \(y= \log x\) 上に取ると
$$B\left( \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k ,\log\left(\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\right) \right)$$ (\(B\) の \(y\) 座標) \( \geq \) (\(A\) の \(y\) 座標) であるから
$$\log \left(\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\right) \geq \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n \log a_k $$$$\log \frac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \geq \frac{1}{n}(\log a_1+\log a_2+ \cdots +\log a_n)$$$$=\frac{1}{n} \log (a_1a_2 \cdots a_n)=\log (a_1a_2 \cdots a_n)^{\frac{1}{n}}$$$$\frac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \geq (a_1a_2 \cdots a_n)^{\frac{1}{n}}$$$$ a_1+a_2+a_3+ \cdots +a_n \geq n\sqrt[n]{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} $$       (等号成立は \(a_1=a_2=a_3= \cdots =a_n\))

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