双曲線関数のN倍角の公式

\begin{alignat}{2}
&(1) \sinh nx={}_n \mathrm{C}_1 \cosh^{n-1} x \sinh x+ {}_n \mathrm{C}_3 \cosh^{n-3} x \sinh^3 x\\
&\\
&     + {}_n \mathrm{C}_5 \cosh^{n-5} x \sinh^5 x+ {}_n \mathrm{C}_7 \cosh^{n-7}x \sinh^7 x+ \cdots\\
\end{alignat}すなわち$$\sinh nx=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_n\mathrm{C}_{2k-1} \cosh^{n-2k+1} x \sinh^{2k-1} x$$
\begin{alignat}{2}
&(2) \cosh nx= {}_n \mathrm{C}_0 \cosh^n x+ {}_n \mathrm{C}_2 \cosh^{n-2} x \sinh^2 x\\
&\\
&     + {}_n \mathrm{C}_4 \cosh^{n-4} x \sinh^4 x+{}_n \mathrm{C}_6 \cosh^{n-6} x \sinh^6 x+ \cdots\\
\end{alignat} すなわち$$\cosh nx=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_n\mathrm{C}_{2k-2} \cosh^{n-2k+2} x \sinh^{2k-2} x$$












<証明>

次の等式を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \cosh nx+ \sinh nx=( \cosh x+ \sinh x)^n\\
&(B)  \cosh nx- \sinh nx=( \cosh x- \sinh x)^n\\
\end{alignat}


\((1)\) \((A)-(B)\) を計算して、二項展開します。
\begin{alignat}{2}
2 \sinh nx&= ( \cosh x+ \sinh x)^n-( \cosh x- \sinh x)^n\\
&={}_n \mathrm{C}_0 \cosh^n x+ {}_n \mathrm{C}_1 \cosh^{n-1} x \sinh x+ {}_n \mathrm{C}_2 \cosh^{n-2} x \sinh^2 x+ \cdots\\
&    -({}_n \mathrm{C}_0 \cosh^n x- {}_n \mathrm{C}_1 \cosh^{n-1} x \sinh x+ {}_n \mathrm{C}_2 \cosh^{n-2} x \sinh^2 x- \cdots)\\
&={}_n \mathrm{C}_0 \cosh^n x+ {}_n \mathrm{C}_1 \cosh^{n-1} x \sinh x+ {}_n \mathrm{C}_2 \cosh^{n-2} x \sinh^2 x+ \cdots\\
&    +(-{}_n \mathrm{C}_0 \cosh^n x+{}_n \mathrm{C}_1 \cosh^{n-1} x \sinh x-{}_n \mathrm{C}_2 \cosh^{n-2} x \sinh^2 x+\cdots)\\
\end{alignat}このとき、奇数番目の項が打ち消され、偶数番目の項が2つになるので$$2 \sinh nx=2({}_n \mathrm{C}_1 \cosh^{n-1} x \sinh x+ {}_n \mathrm{C}_3 \cosh^{n-3} x \sinh^3 x+{}_n \mathrm{C}_5 \cosh^{n-5} x \sinh^5 x \cdots)$$両辺を \(2\) で割ります。$$\sinh nx={}_n \mathrm{C}_1 \cosh^{n-1} x \sinh x+ {}_n \mathrm{C}_3 \cosh^{n-3} x \sinh^3 x+ {}_n \mathrm{C}_5 \cosh^{n-5} x \sinh^5 x+ {}_n \mathrm{C}_7 \cosh^{n-7} x \sinh^7 x+ \cdots$$以上より$$\sinh nx=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_n\mathrm{C}_{2k-1} \cosh^{n-2k+1} x \sinh^{2k-1} x$$








\((1)\) \((A)+(B)\) を計算して、二項展開します。
\begin{alignat}{2}
2 \cosh nx&= ( \cosh x+ \sinh x)^n+( \cosh x- \sinh x)^n\\
&={}_n \mathrm{C}_0 \cosh^n x+ {}_n \mathrm{C}_1 \cosh^{n-1} x \sinh x+ {}_n \mathrm{C}_2 \cosh^{n-2} x \sinh^2 x+ \cdots\\
&        +({}_n \mathrm{C}_0 \cosh^n x- {}_n \mathrm{C}_1 \cosh^{n-1} x \sinh x+ {}_n \mathrm{C}_2 \cosh^{n-2} x \sinh^2 x- \cdots)\\
\end{alignat}このとき、偶数番目の項が打ち消され、奇数番目の項が2つになるので$$2 \cosh nx=2({}_n \mathrm{C}_0 \cosh^n x+ {}_n \mathrm{C}_2 \cosh^{n-2} x \sinh^2 x+{}_n \mathrm{C}_4 \cosh^{n-4} x \sinh^4 x+ \cdots)$$両辺を \(2\) で割ります。$$ \cosh nx= {}_n \mathrm{C}_0 \cosh^n x+ {}_n \mathrm{C}_2 \cosh^{n-2} x \sinh^2 x+ {}_n \mathrm{C}_4 \cosh^{n-4} x \sinh^4 x+{}_n \mathrm{C}_6 \cosh^{n-6} x \sinh^6 x+ \cdots$$以上より$$\cosh nx=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_n\mathrm{C}_{2k-2} \cosh^{n-2k+2} x \sinh^{2k-2} x$$

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