双曲線の方程式

「\(2\) つの定点(焦点)から動点 \(P\) までの距離の差を一定」に保ちながら、

動点 \(P\) が動いたときに描く曲線を「双曲線」と呼び、次式で表されます。$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}= \pm 1  (a,b \gt 0)$$

双曲線を座標平面上に配置したとき、右辺の符号により

双曲線が「横型」か「縦型」かが決まります。


\((1)\) 横型の双曲線$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}= 1  (a,b \gt 0)$$焦点 \(F_1(c,0)\) \(F_2(-c,0)\) \((c=\sqrt{a^2+b^2})\)

\(|PF_1-PF_2|=2a\) (一定)

\((2)\) 縦型の双曲線$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}= -1  (a,b \gt 0)$$焦点 \(F_1(0,c)\) \(F_2(0,-c)\) \((c=\sqrt{a^2+b^2})\)

\(|PF_1-PF_2|=2b\) (一定)











<証明>

\((1)\) 三平方の定理を用いると \(PF_1,\,PF_2\) はそれぞれ$$PF_1=\sqrt{(x-c)^2+y^2},  PF_2=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$$ であるので \(PF_1-PF_2=\pm 2a\) に代入すると$$\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a$$移項して、両辺を \(2\) 乗します。
\begin{alignat}{2}
\sqrt{(x+c)^2+y^2}&=\pm 2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\
&\\
(x+c)^2+y^2&=\{\pm 2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}\}^2\\
&\\
&=4a^2\pm 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2\\
\end{alignat}展開整理します。
\begin{alignat}{2}
x^2+2cx+c^2&=4a^2\pm 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2cx+c^2\\
&\\
4cx&=4a^2\pm 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2}\\
&\\
a^2-cx&=\pm a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\
\end{alignat}両辺を \(2\) 乗してルートを外します。
\begin{alignat}{2}
(a^2-cx)^2&=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\\
&\\
a^4-2a^2cx+c^2x^2&=a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2\\
&\\
a^4+c^2x^2&=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2\\
\end{alignat}\(c^2=a^2+b^2\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
a^4+(a^2+b^2)x^2&=a^2x^2+a^2(a^2+b^2)+a^2y^2\\
&\\
a^4+a^2x^2+b^2x^2&=a^2x^2+a^4+a^2b^2+a^2y^2\\
&\\
b^2x^2-a^2y^2&=a^2b^2\\
\end{alignat}両辺を \(a^2b^2\) で割ります。以上より$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1  (a,b \gt 0)$$








\((2)\) 三平方の定理を用いると \(PF_1,\,PF_2\) はそれぞれ$$PF_1=\sqrt{x^2+(y-c)^2},  PF_2=\sqrt{x^2+(y+c)^2}$$ であるので \(PF_1-PF_2=\pm 2b\) に代入すると$$\sqrt{x^2+(y-c)^2}-\sqrt{x^2+(y+c)^2}=\pm 2b$$移項して、両辺を \(2\) 乗します。
\begin{alignat}{2}
\sqrt{x^2+(y+c)^2}&=\pm 2b+\sqrt{x^2+(y-c)^2}\\
&\\
x^2+(y+c)^2&=\{\pm 2b+\sqrt{x^2+(y-c)^2}\}^2\\
&\\
&=4b^2\pm 4b\sqrt{x^2+(y-c)^2}+x^2+(y-c)^2\\
\end{alignat}展開整理します。
\begin{alignat}{2}
y^2+2cy+c^2&=4b^2\pm 4b \sqrt{x^2+(y-c)^2}+y^2-2cy+c^2\\
&\\
4cy&=4b^2\pm 4b \sqrt{x^2+(y-c)^2}\\
&\\
b^2-cy&=\pm b\sqrt{x^2+(y-c)^2}\\
\end{alignat}両辺を \(2\) 乗してルートを外します。
\begin{alignat}{2}
(b^2-cy)^2&=b^2(x^2+y^2-2cy+c^2)\\
&\\
b^4-2b^2cy+c^2y^2&=b^2x^2+b^2y^2-2b^2cy+b^2c^2\\
&\\
b^4+c^2y^2&=b^2x^2+b^2y^2+b^2c^2\\
\end{alignat}\(c^2=a^2+b^2\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
b^4+(a^2+b^2)y^2&=b^2x^2+b^2y^2+b^2(a^2+b^2)\\
&\\
a^4+a^2y^2+b^2y^2&=b^2x^2+b^2y^2+a^2b^2+b^4\\
&\\
b^2x^2-a^2y^2&=-a^2b^2\\
\end{alignat}両辺を \(a^2b^2\) で割ります。以上より$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1  (a,b \gt 0)$$













コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です