S(√x)e^{-px}[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} S(\sqrt{x})e^{-px}dx=\frac{(\sqrt{p^2+1}-p)^{\frac{1}{2}}}{2p\sqrt{p^2+1}}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} C(\sqrt{x})e^{-px}dx=\frac{(\sqrt{p^2+1}+p)^{\frac{1}{2}}}{2p\sqrt{p^2+1}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(p \gt 0\)















<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cos bx^2dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}} \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{a^2+b^2}}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \sin bx^2dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}} \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{a^2+b^2}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)




\((1)\) 被積分関数内のフレネル積分について$$S(\sqrt{x})=\sqrt{\frac{2}{π}}\displaystyle\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^2dt$$両辺を \(x\) で微分します。$$\frac{d}{dx}S(\sqrt{x})=\sqrt{\frac{2}{π}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin x=\frac{1}{\sqrt{2πx}}\sin x$$
これを用いて部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} S(\sqrt{x})e^{-px}dx&=\left[-\frac{1}{p}e^{-px} \cdot S(\sqrt{x})\right]_0^{\infty}+\frac{1}{p} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-pt} \cdot \frac{1}{\sqrt{2πx}} \sin xdx\\
&=\frac{1}{p\sqrt{2π}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-px} \sin x}{\sqrt{x}}dx\\
\end{alignat}\(x=t^2\) と置きます。\((dx=2tdt)\) \((B)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{p\sqrt{2π}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-pt^2} \sin t^2}{t} \cdot 2tdt=\frac{1}{p}\sqrt{\frac{2}{π}}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-pt^2} \sin t^2 dt\\
&=\frac{1}{p}\sqrt{\frac{2}{π}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}} \sqrt{\frac{\sqrt{p^2+1}-p}{p^2+1}}=\frac{(\sqrt{p^2+1}-p)^{\frac{1}{2}}}{2p\sqrt{p^2+1}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} S(\sqrt{x})e^{-px}dx=\frac{(\sqrt{p^2+1}-p)^{\frac{1}{2}}}{2p\sqrt{p^2+1}}$$










\((2)\) 被積分関数内のフレネル積分について$$C(\sqrt{x})=\sqrt{\frac{2}{π}}\displaystyle\int_0^{\sqrt{x}} \cos t^2dt$$両辺を \(x\) で微分します。$$\frac{d}{dx}C(\sqrt{x})=\sqrt{\frac{2}{π}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos x=\frac{1}{\sqrt{2πx}}\cos x$$
これを用いて部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} C(\sqrt{x})e^{-px}dx&=\left[-\frac{1}{p}e^{-px} \cdot C(\sqrt{x})\right]_0^{\infty}+\frac{1}{p} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-pt} \cdot \frac{1}{\sqrt{2πx}} \cos xdx\\
&=\frac{1}{p\sqrt{2π}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-px} \cos x}{\sqrt{x}}dx\\
\end{alignat}\(x=t^2\) と置きます。\((dx=2tdt)\) \((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{p\sqrt{2π}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-pt^2} \cos t^2}{t} \cdot 2tdt=\frac{1}{p}\sqrt{\frac{2}{π}}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-pt^2} \cos t^2 dt\\
&=\frac{1}{p}\sqrt{\frac{2}{π}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}} \sqrt{\frac{\sqrt{p^2+1}+p}{p^2+1}}=\frac{(\sqrt{p^2+1}+p)^{\frac{1}{2}}}{2p\sqrt{p^2+1}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} C(\sqrt{x})e^{-px}dx=\frac{(\sqrt{p^2+1}+p)^{\frac{1}{2}}}{2p\sqrt{p^2+1}}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です