対数の公式

\begin{alignat}{2}
&(1)  \log_a 1=0\\
&(2)  \log_a a=1\\
&(3)  \log_a M+\log _a N=\log_a MN\\
&(4)  \log_a M-\log_a N=\log _a \frac{M}{N}\\
&(5)  \log_a M^r=r \log_a M\\
&(6)  \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\\
&(7)  \log_a b=\frac{1}{\log_b a}\\
&(8)  a^{\log_c b}=b^{\log_c a}\\
&(9)  \log_a b \cdot \log_b c=\log_a c\\
&(10)  \log_{a^r} b=\frac{1}{r}\log_a b\\
&(11)  \log_{\frac{1}{a}} b=-\log_a b\\
\end{alignat}











<証明(または考え方)>

\((1)\) \(a\) を \(1\) にするための指数は \(0\) であるので$$\log_a 1=0$$

\((2)\) \(a\) を \(a\) にするための指数は \(1\) であるので$$\log_a a=1$$





\((3)(4)(5)\) 次のように置きます。
\begin{cases}
x=\log_a M,  M=a^x\\
y=\log_a N,  N=a^y\\
\end{cases}\((3)\) \(M\) と \(N\) を掛け合わせます。$$MN=a^x \cdot a^y=a^{x+y}$$これは \(a\) を \(x+y\) 乗すると \(MN\) だから、対数を用いて、式を書き直すと$$x+y=\log_a MN$$\(x\) と \(y\) を元に戻します。$$\log_a M+\log _a N=\log_a MN$$






\((4)\) \(M\) を \(N\) で割ります。$$\frac{M}{N}=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$$これは \(a\) を \(x-y\) 乗すると \(\displaystyle \frac{M}{N}\) だから、対数を用いて、式を書き直すと$$x-y=\log_a \frac{M}{N}$$\(x\) と \(y\) を元に戻します。$$\log_a M-\log_a N=\log _a \frac{M}{N}$$







\((5)\) 次の式の両辺を \(r\) 乗します。$$M=a^x,  M^r=a^{rx}$$\(a\) を \(rx\) 乗すると \(M^r\) だから、対数を用いて式を書き直すと$$rx=\log_a M^r$$\(x\) を元に戻します。$$\log_a M^r=r \log_a M$$







\((6)\) 次の式を \(k\) と置きます。$$\log_a b=k,  a^k=b$$両辺に底を \(c\) とする対数を付けます。$$\log_c a^k=\log_c b$$\((4)\) の式を用いて \(a\) の指数を係数します。$$k \log_c a=\log_c b,  k=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$以上より$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$







\((7)\) \((5)\) の式で \(c=b\) とします。$$\log_a b=\frac{\log_b b}{\log_b a}=\frac{1}{\log_b a}$$







\((8)\) 次の式を \(k\) と置きます。$$k=a^{\log_c b}$$両辺に底を \(c\) をする対数を付けます。$$\log_c k=\log_c a^{\log_c b}$$右辺の真数の指数を係数にします。$$\log_c k=(\log_c b)(\log_c a)$$\(\log_c a\) を係数と見て \(\log_c b\) の真数の指数とします。$$\log_c k=\log_c b^{\log_c a}$$すなわち$$k=b^{\log_c a}$$元の \(k\) の式と等号で結び付けます。$$a^{\log_c b}=b^{\log_c a}$$







\((9)\) 底の変換を行います。$$\log_a b \cdot \log _b c=\frac{\log_d b}{\log_d a} \cdot \frac{\log_d c}{\log_d b}=\frac{\log_d c}{\log_d a}=\log_a c$$以上より$$\log_a b \cdot \log_b c=\log_a c$$







\((10)\) 次の式を \(k\) と置きます。$$k=\log_{a^r} b,  a^{kr}=b$$\(a\) を \(kr\) 乗すると \(b\) だから、対数を用いて書き直すと$$kr=\log_a b$$\(k\) を代入します。$$r \log_{a^r} b=\log_a b$$両辺を \(r\) で割ります。$$\log_{a^r} b=\frac{1}{r}\log_a b$$







\((11)\) \((10)\) で \(r=-1\) とします。$$\log_{\frac{1}{a}} b=\frac{1}{-1}\log_a b=-\log_a b$$

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