tan^{-1}qx/(1+px)^2[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{\tan^{-1} qx}{(1+px)^2}dx\\
&=\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{q^2-p}{(1+p)(p^2+q^2)}\tan^{-1} q\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{\cot^{-1} qx}{(1+px)^2}dx\\
&=-\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{p}{p^2+q^2}\tan^{-1} q+\frac{1}{1+p}\cot^{-1} q
\end{alignat} ただし、全て \(p \gt -1\)








<証明>

予め、次の定積分を計算しておきます。$$(A)  \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(1+px)(1+q^2x^2)}dx$$被積分関数を部分分数分解します。$$\frac{A}{1+px}+\frac{Bx+C}{1+q^2x^2}=\frac{1}{(1+px)(1+q^2x^2)}$$\(A,B,C\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
A(1+q^2x^2)+(Bx+C)(1+px)&=1\\
&\\
A+Aq^2x^2+Bpx^2+Bx+Cpx+C&=1\\
&\\
(Aq^2+Bp)x^2+(B+Cp)x+A+C&=1\\
\end{alignat}$$Aq^2+Bp=0,  B+Cp=0,  A+C=1$$を得るので$$A=\frac{p^2}{p^2+q^2},  B=-\frac{pq^2}{p^2+q^2},  C=\frac{q^2}{p^2+q^2}$$よって
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(1+px)(1+q^2x^2)}dx\\
&=\frac{1}{p^2+q^2}\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{p^2}{1+px}-\frac{pq^2x}{1+q^2x^2}+\frac{q^2}{1+q^2x^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{p^2+q^2}\left[p \log (1+px)-\frac{p}{2}\log (1+q^2x^2)+q \tan^{-1} (qx)\right]_0^1\\
&=\frac{1}{p^2+q^2}\left\{p \log (1+p)-\frac{p}{2}\log (1+q^2)+q \tan^{-1} q\right\}\\
&=\frac{p}{2(p^2+q^2)}\left\{\log (1+p)^2-\log (1+q^2)\right\}+\frac{q}{p^2+q^2}\tan^{-1} q\\
&=\frac{p}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{q}{p^2+q^2}\tan^{-1} q
\end{alignat}以上より$$(A)  \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(1+px)(1+q^2x^2)}dx=\frac{p}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{q}{p^2+q^2}\tan^{-1} q$$






\((1)\) 部分積分を行い \((A)\) の結果を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{\tan^{-1} qx}{(1+px)^2}dx\\
&=\left[-\frac{\tan^{-1} qx}{p(1+px)}\right]_0^1+ \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{p(1+px)} \cdot \frac{q}{1+q^2x^2}dx\\
&=-\frac{\tan^{-1} q}{p(1+p)}+\frac{q}{p}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(1+px)(1+q^2x^2)}dx\\
&=-\frac{\tan^{-1} q}{p(1+p)}+\frac{q}{p}\left\{\frac{p}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{q}{p^2+q^2}\tan^{-1} q\right\}\\
&=\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{1}{p}\left(\frac{q^2}{p^2+q^2}-\frac{1}{1+p}\right)\tan^{-1} q\\
&=\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{1}{p} \cdot \frac{q^2(1+p)-(p^2+q^2)}{(1+p)(p^2+q^2)}\tan^{-1}q\\
&=\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{1}{p} \cdot \frac{q^2+pq^2-p^2-q^2}{(1+p)(p^2+q^2)}\\
&=\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{q^2-p}{(1+p)(p^2+q^2)}\tan^{-1} q
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\tan^{-1} qx}{(1+px)^2}dx=\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{q^2-p}{(1+p)(p^2+q^2)}\tan^{-1} q$$







\((2)\) \((1)\) と同様です。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{\cot^{-1} qx}{(1+px)^2}dx\\
&=\left[-\frac{\cot^{-1} qx}{p(1+px)}\right]_0^1- \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{p(1+px)} \cdot \frac{q}{1+q^2x^2}dx\\
&=-\frac{\cot^{-1} q}{p(1+p)}+\frac{π}{2p}-\frac{q}{p}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(1+px)(1+q^2x^2)}dx\\
&=-\frac{\cot^{-1} q}{p(1+p)}+\frac{π}{2p}-\frac{q}{p}\left\{\frac{p}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{q}{p^2+q^2}\tan^{-1} q\right\}\\
&=-\frac{\cot^{-1} q}{p(1+p)}+\frac{π}{2p}-\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}-\frac{q^2}{p(p^2+q^2)}\tan^{-1} q\\
&=-\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2} -\frac{\cot^{-1} q}{p}+\frac{\cot^{-1} q}{1+p}+\frac{π}{2p}-\frac{q^2}{p(p^2+q^2)}\tan^{-1} q\\
&=-\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{1}{p}\left(\frac{π}{2}-\cot^{-1} q\right)-\frac{q^2}{p(p^2+q^2)}\tan^{-1} q+\frac{1}{1+p}\cot^{-1}q\\
&=-\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{1}{p}\tan^{-1} q-\frac{q^2}{p(p^2+q^2)}\tan^{-1} q+\frac{1}{1+p}\cot^{-1}q\\
&=-\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{1}{p}\left(1-\frac{q^2}{p^2+q^2}\right)\tan^{-1} q+\frac{1}{1+p}\cot^{-1}q\\
&=-\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{p}{p^2+q^2}\tan^{-1} q+\frac{1}{1+p}\cot^{-1} q
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\cot^{-1} qx}{(1+px)^2}dx=-\frac{q}{2(p^2+q^2)}\log \frac{(1+p)^2}{1+q^2}+\frac{p}{p^2+q^2}\tan^{-1} q+\frac{1}{1+p}\cot^{-1} q$$

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