tan^{-1}qx/(p+x)^2[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tan^{-1} qx}{(p+x)^2}dx=-\frac{q}{1+p^2q^2}\left(\log pq -\frac{πpq}{2}\right)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cot^{-1} qx}{(p+x)^2}dx=\frac{q}{1+p^2q^2}\left(\log pq +\frac{π}{2pq}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(p,q \gt 0\)










<証明>

予め、次の定積分を計算しておきます。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(p+x)(1+q^2x^2)}dx$$被積分関数を部分分数分解します。
\begin{alignat}{2}
\frac{A}{p+x}+\frac{Bx+C}{1+q^2x^2}&=\frac{1}{(p+x)(1+q^2x^2)}\\
&\\
A(1+q^2x^2)+(Bx+C)(p+x)&=1\\
&\\
A+Aq^2x^2+Bx^2+Bpx+Cx+Cp&=1\\
&\\
(Aq^2+B)x^2+(Bp+C)x+A+Cp&=1\\
\end{alignat}$$Aq^2+B=0,  Bp+C=0,  A+Cp=1$$を得るので$$A=\frac{1}{1+p^2q^2},  B=-\frac{q^2}{1+p^2q^2},  C=\frac{pq^2}{1+p^2q^2}$$よって
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(p+x)(1+q^2x^2)}dx\\
&=\frac{1}{1+p^2q^2}\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{1}{p+x}-\frac{q^2x}{1+q^2x^2}+\frac{pq^2}{1+q^2x^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{1+p^2q^2}\left[\log (p+x)-\frac{1}{2}\log (1+q^2x^2)+pq \tan^{-1} (qx)\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{1}{1+p^2q^2}\left[\frac{1}{2}\log \frac{(p+x)^2}{1+q^2x^2}+pq \tan^{-1}(qx)\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{1}{1+p^2q^2}\left(\frac{1}{2}\log \frac{1}{q^2}-\frac{1}{2}\log p^2+\frac{πpq}{2}\right)\\
&=\frac{1}{1+p^2q^2}\left(-\log q-\log p+\frac{πpq}{2}\right)\\
&=-\frac{1}{1+p^2q^2}\left(\log pq -\frac{πpq}{2}\right)\\\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(p+x)(1+q^2x^2)}dx=-\frac{1}{1+p^2q^2}\left(\log pq -\frac{πpq}{2}\right)$$







\((1)\) 部分積分を行い、 \((A)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tan^{-1} qx}{(p+x)^2}dx&=\left[-\frac{\tan^{-1}qx}{p+x}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{q}{1+q^2x^2} \cdot \frac{1}{p+x}dx\\
&=q\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(p+x)(1+q^2x^2)}dx\\
&=-\frac{q}{1+p^2q^2}\left(\log pq -\frac{πpq}{2}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tan^{-1} qx}{(p+x)^2}dx=-\frac{q}{1+p^2q^2}\left(\log pq -\frac{πpq}{2}\right)$$







\((2)\) \((1)\) と同様に計算します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cot^{-1} qx}{(p+x)^2}dx&=\left[-\frac{\cot^{-1}qx}{p+x}\right]_0^{\infty}-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{q}{1+q^2x^2} \cdot \frac{1}{p+x}dx\\
&=\frac{π}{2p}-q\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(p+x)(1+q^2x^2)}dx\\
&=\frac{π}{2p}+\frac{q}{1+p^2q^2}\left(\log pq -\frac{πpq}{2}\right)\\
&=\frac{q}{1+p^2q^2}\left(\log pq+\frac{π}{2p}\cdot \frac{1+p^2q^2}{q}-\frac{πpq}{2}\right)\\
&=\frac{q}{1+p^2q^2}\left(\log pq+\frac{π}{2pq}+\frac{πpq}{2}-\frac{πpq}{2}\right)\\
&=\frac{q}{1+p^2q^2}\left(\log pq +\frac{π}{2pq}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cot^{-1} qx}{(p+x)^2}dx=\frac{q}{1+p^2q^2}\left(\log pq +\frac{π}{2pq}\right)$$

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