tanh(x/2)/coshx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tanh \frac{x}{2}}{\cosh x}dx=\log 2\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sinh ax}{\cosh^{2μ+1} ax}dx=\frac{\sqrt{π}}{4a^2μ}\cdot \frac{Γ(μ)}{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right)}  (a,μ \gt 0)\\
\end{alignat}








<証明>

\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tanh \frac{x}{2}}{\cosh x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^x-1}{e^x+1} \cdot \frac{2}{e^x+e^{-x}}dx\\
&            =2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\cdot \frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}dx\\
\end{alignat}\(e^{-x}=t\) と置きます。\((-tdx=dt)\)$$=2\displaystyle\int_1^0 \frac{1-t}{1+t} \cdot \frac{t}{1+t^2} \left(-\frac{1}{t}\right)dt=2\displaystyle\int_0^1 \frac{1-t}{(1+t)(1+t^2)}dt$$部分分数分解を行います。被積分関数が次のように変形できたとします。$$\frac{A}{1+t}+\frac{Bt+C}{1+t^2}=\frac{1-t}{(1+t)(1+t^2)}$$\(A,B,C\) の値を求めます。
\begin{alignat}{2}
&A(1+t^2)+(Bt+C)(1+t)=1-t\\
&\\
&A+At^2+Bt^2+Bt+Ct+C=1-t\\
&\\
&(A+B)t^2+(B+C)t+A+C=1-t\\
\end{alignat}となって$$A+B=0,  B+C=-1,  A+C=1$$を得るので、これを解くと$$A=1,  B=-1,  C=0$$よって、求める積分は以下となります。
\begin{alignat}{2}
&=2\displaystyle\int_0^1 \frac{1-t}{(1+t)(1+t^2)}dt=2\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{1+t}-\frac{t}{1+t^2}\right)dt\\
&=2\left[\log(1+t)-\frac{1}{2}\log (1+t^2)\right]_0^1=2\left(\log 2-\frac{1}{2}\log 2\right)=\log 2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\tanh \frac{x}{2}}{\cosh x}dx=\log 2$$







\((2)\) 部分積分を行うために、次の積分を計算します。

\(\cosh ax=t\) と置きます。\((a \sinh axdx=dt)\)$$\displaystyle\int \frac{\sinh ax}{\cosh^{2μ+1}ax}dx=\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{1}{t^{2μ+1}}dt=\frac{1}{a}\left(-\frac{1}{2μ}\right)t^{-2μ}=-\frac{1}{2aμ\cosh^{2μ}ax}$$であるので
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sinh ax}{\cosh^{2μ+1} ax}dx\\
&=\left[-\frac{x}{2aμ\cosh^{2μ}ax}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{2aμ\cosh^{2μ} ax}dx\\
&=\frac{1}{2aμ}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{\cosh^{2μ} ax}dx=\frac{1}{2aμ}\displaystyle\int_0^{\infty} (1-\tanh^2 ax)^μdx\\
\end{alignat}\(\tanh^2 x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{2a\tanh ax}{\cosh^2 ax}dx=dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2aμ}\displaystyle\int_0^1 (1-t)^μ\cdot \frac{1}{2a\sqrt{t}}\cdot \frac{1}{1-t}dt\\
&=\frac{1}{4a^2μ}\displaystyle\int_0^1 t^{-\frac{1}{2}}(1-t)^{μ-1}dt=\frac{1}{4a^2μ}B\left(μ,\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{4a^2μ}\cdot \frac{Γ(μ)Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right)}=\frac{\sqrt{π}}{4a^2μ}\cdot \frac{Γ(μ)}{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right)}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sinh ax}{\cosh^{2μ+1} ax}dx=\frac{\sqrt{π}}{4a^2μ}\cdot \frac{Γ(μ)}{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right)}$$

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