tan^{μ}x/(1+sinxcosx)[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1+\sin x \cos x}dx=\frac{1}{3}\left\{ψ\left(\frac{μ+2}{3}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1-\sin x \cos x}dx=\frac{1}{3}\left\{β\left(\frac{μ+2}{3}\right)+β\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}\\
\end{alignat}ただし \(μ \gt -1\) であり \(\displaystyle β(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+x}\) とする。







<証明>

\((1)\) \(2x=t\) と置きます。\((2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1+\sin x \cos x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\left(\tan \frac{t}{2}\right)^μ}{1+\sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2}dt\\
&                  =\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\left(\tan \frac{t}{2}\right)^μ}{1+\tan \frac{t}{2} \cos^2 \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2}dt\\
\end{alignat}\(\displaystyle \tan \frac{t}{2}=s\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{2 \cos^2 \frac{t}{2}}dt=ds, dt=\frac{2}{1+s^2}ds\right)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{s^μ}{1+\frac{s}{1+s^2}}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1+s^2}ds\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{s^μ}{s^2+s+1}ds=\displaystyle\int_0^1 \frac{(s-1)s^μ}{s^3-1}ds=\displaystyle\int_0^1 \frac{(1-s)s^μ}{1-s^3}ds\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{s^μ}{1-s^3}ds-\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{μ+1}}{1-s^3}ds\\
&=\displaystyle\int_0^1 s^μ \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} s^{3n}ds-\displaystyle\int_0^1 s^{μ+1} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} s^{3n}ds\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^1s^{3n+μ}ds-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^1s^{3n+μ+1}ds\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{s^{3n+μ+1}}{3n+μ+1}\right]_0^1-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{s^{3n+μ+2}}{3n+μ+2}\right]_0^1\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3n+μ+1}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3n+μ+2}\\
&=\frac{1}{3}\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+\frac{μ+1}{3}}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+\frac{μ+2}{3}}\right)\\
\end{alignat}次のディガンマ関数の公式を用います。(詳細はこちらです)$$ψ(y)-ψ(x)= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+x}- \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+y}$$これを用いることで$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1+\sin x \cos x}dx=\frac{1}{3}\left\{ψ\left(\frac{μ+2}{3}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}$$







\((2)\) \((1)\) と同様の流れで解きます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1-\sin x \cos x}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{s^μ}{s^2-s+1}ds\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{(s+1)s^μ}{s^3+1}ds=\displaystyle\int_0^1 \frac{(s+1)s^μ}{1+s^3}ds\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{μ+1}}{1+s^3}ds+\displaystyle\int_0^1 \frac{s^μ}{1+s^3}ds\\
&=\displaystyle\int_0^1 s^{μ+1} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n s^{3n}ds+\displaystyle\int_0^1 s^μ \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n s^{3n}ds\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \displaystyle\int_0^1s^{3n+μ+1}ds+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \displaystyle\int_0^1 s^{3n+μ}ds\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left[\frac{s^{3n+μ+2}}{3n+μ+2}\right]_0^1+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left[\frac{s^{3n+μ+1}}{3n+μ+1}\right]_0^1\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+μ+2}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+μ+1}\\
&=\frac{1}{3}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+\frac{μ+2}{3}}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+\frac{μ+1}{3}}\right\}\\
\end{alignat}次のように級数を \(\displaystyle β(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+x}\) で表すことにすると$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1-\sin x \cos x}dx=\frac{1}{3}\left\{β\left(\frac{μ+2}{3}\right)+β\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}$$

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