tan^μxsin^2x[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\tan^{μ-1} x \cos^{2v-2} dx=\frac{1}{2}B\left(\frac{μ}{2},\frac{2v-μ}{2}\right)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\cot^{μ-1} x \sin^{2v-2} dx=\frac{1}{2}B\left(\frac{μ}{2},\frac{2v-μ}{2}\right)\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \tan^μ x \sin^2 xdx=-\frac{1}{4}+\frac{μ+1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1+μ}  (μ \gt -1)\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \tan^μ x \cos^2 xdx=\frac{1}{4}+\frac{1-μ}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1+μ}  (μ \gt -1)
\end{alignat}







<証明>

\((1)(2)\) はベータ関数の公式を用います。

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\tan^{μ-1} x \cos^{2v-2} dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{μ-1} \cos^{2v-2} xdx\\
&                       =\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\sin x)^{μ-1}(\cos x)^{2v-μ-1}dx\\
&                       =\frac{1}{2}B\left(\frac{μ}{2},\frac{2v-μ}{2}\right)
\end{alignat}





\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\cot^{μ-1} x \sin^{2v-2} dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{μ-1} \sin^{2v-2} xdx\\
&                       =\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\cos x)^{μ-1}(\sin x)^{2v-μ-1}dx\\
&                       =\frac{1}{2}B\left(\frac{μ}{2},\frac{2v-μ}{2}\right)
\end{alignat}






\((3)(4)\) は \( \tan x=t\) と置きます。このとき
\begin{alignat}{2}
&\cos^2x=\frac{1}{1+\tan^2 x}=\frac{1}{1+t^2},  \sin^2 x=\frac{\tan^2x}{1+\tan^2 x}=\frac{1}{1+t^2}\\
&\frac{1}{\cos^2 x}dx=dt,  dx=\frac{1}{1+t^2}dt\\
\end{alignat}また、次の式を用います。$$\{(1+t^2)^{-1}\}’=\frac{-2t}{(1+t^2)^2}$$

\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \tan^μ x\sin^2 xdx\\
&=\displaystyle\int_0^1 t^μ \cdot \frac{t^2}{1+t^2} \cdot \frac{1}{1+t^2}dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ+2}}{(1+t^2)^2}dt\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{μ+1}\{(1+t^2)^{-1}\}’dt\\
&=-\frac{1}{2}\left\{[t^{μ+1}(1+t^2)^{-1}]_0^1-\displaystyle\int_0^1 (μ+1)t^μ(1+t^2)^{-1}dt\right\}\\
&=-\frac{1}{4}+\frac{μ+1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^μ}{1+t^2}dt\\
&=-\frac{1}{4}+\frac{μ+1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^μ(1-t^2+t^4-t^6+ \cdots)dt\\
&=-\frac{1}{4}+\frac{μ+1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^μ \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n}dt\\
&=-\frac{1}{4}+\frac{μ+1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\displaystyle\int_0^1 t^{μ+2n}dt\\
&=-\frac{1}{4}+\frac{μ+1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\left[\frac{t^{2n+1+μ}}{2n+1+μ}\right]_0^1\\
&=-\frac{1}{4}+\frac{μ+1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1+μ}
\end{alignat}







\((4)\) \((3)\) の結果と次の積分値を用います。(詳細はこちらです。)$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\tan x)^μdx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1+μ}  (μ \gt -1)$$
代入して式をまとめます。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \tan^μ x\cos^2 xdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \tan^μ x(1-\sin^2 x)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \tan^μ dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \tan^μ x \sin^2 xdx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1+μ}-\left\{-\frac{1}{4}+\frac{μ+1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1+μ}\right\}\\
&=\frac{1}{4}+\left(1-\frac{μ+1}{2}\right)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1+μ}\\
&=\frac{1}{4}+\frac{1-μ}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1+μ}
\end{alignat}

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