(tanx)^μ/(1-(sinx)^2(cosx)^2)[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1-\sin^2 x \cos^2 x}dx  (μ \gt -1)\\
&=\frac{1}{12}\left\{ψ\left(\frac{μ+5}{6}\right)-ψ\left(\frac{μ+2}{6}\right)+ψ\left(\frac{μ+4}{6}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{6}\right)+2ψ\left(\frac{μ+2}{3}\right)-2ψ\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\tan^{μ-1} x \cos^2 x}{1-\sin^2 x \cos^2 x}dx=\frac{π}{4\sqrt{3}} \csc \frac{μπ}{6}\csc \left(\frac{μ+2}{6}\right)π  (0 \lt μ \lt 4)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cot^{μ-1} x \sin^2 x}{1-\sin^2 x \cos^2 x}dx=\frac{π}{4\sqrt{3}} \csc \frac{μπ}{6}\csc \left(\frac{μ+2}{6}\right)π  (0 \lt μ \lt 4)
\end{alignat}










<証明>

次の定積分及び等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1+\sin x \cos x}dx=\frac{1}{3}\left\{ψ\left(\frac{μ+2}{3}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}  (μ \gt -1)\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1-\sin x \cos x}dx=\frac{1}{3}\left\{β\left(\frac{μ+2}{3}\right)+β\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}  (μ \gt -1)\\
&(C)  ψ\left(\frac{x+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{x}{2}\right)=2β(x)\\
\end{alignat}






\((2)\) 部分分数分解をします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1-\sin^2 x \cos^2 x}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{(1-\sin x \cos x)(1+\sin x \cos x)}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \tan^μ x\left( \frac{1}{1-\sin x \cos x}+\frac{1}{1+\sin x \cos x}\right)dx\\
&=\frac{1}{2}\left(\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1-\sin x \cos x}dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1+\sin x \cos x}dx\right)\\
\end{alignat}\((A)(B)(C)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}\left\{β\left(\frac{μ+2}{3}\right)+β\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}+\frac{1}{3}\left\{ψ\left(\frac{μ+2}{3}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}\right]\\
&=\frac{1}{6}\left\{β\left(\frac{μ+2}{3}\right)+β\left(\frac{μ+1}{3}\right)+ψ\left(\frac{μ+2}{3}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{6}\left\{\frac{1}{2}ψ\left(\frac{μ+5}{6}\right)-\frac{1}{2}ψ\left(\frac{μ+2}{6}\right)+\frac{1}{2}ψ\left(\frac{μ+4}{6}\right)-\frac{1}{2}ψ\left(\frac{μ+1}{6}\right)+ψ\left(\frac{μ+2}{3}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{12}\left\{ψ\left(\frac{μ+5}{6}\right)-ψ\left(\frac{μ+2}{6}\right)+ψ\left(\frac{μ+4}{6}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{6}\right)+2ψ\left(\frac{μ+2}{3}\right)-2ψ\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^μ x}{1-\sin^2 x \cos^2 x}dx=\frac{1}{12}\left\{ψ\left(\frac{μ+5}{6}\right)-ψ\left(\frac{μ+2}{6}\right)+ψ\left(\frac{μ+4}{6}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{6}\right)+2ψ\left(\frac{μ+2}{3}\right)-2ψ\left(\frac{μ+1}{3}\right)\right\}  (μ \gt -1)$$








\((2)\) \(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\tan^{μ-1} x \cos^2 x}{1-\sin^2 x \cos^2 x}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\tan^{μ-1} x }{(1+\tan^2 x)^2-\tan^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{(1+t^2)^2-t^2}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{t^4+t^2+1}dt\\
\end{alignat}分子と分母に \(1-t^2\) を掛けます。$$=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-t^2)t^{μ-1}}{(1-t^2)(t^4+t^2+1)}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}-t^{μ+1}}{1-t^6}dt$$\(t^6=s\) と置きます。\((6t^5dt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{\frac{μ-1}{6}}-s^{\frac{μ+1}{6}}}{1-s} \cdot \frac{1}{6s^{\frac{5}{6}}}ds=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{\frac{μ}{6}-1}-s^{\frac{μ-4}{6}}}{1-s}ds\\
&=\frac{1}{6}\left\{π\cot \frac{μπ}{6}-π\cot \left(\frac{μ+2}{6}\right)π\right\}=\frac{π}{6}\left\{\frac{\cos \frac{μπ}{6}}{\sin \frac{μπ}{6}}-\frac{\cos \left(\frac{μ+2}{6}\right)π}{\sin \left(\frac{μ+2}{6}\right)π}\right\}\\
&=\frac{π}{6}\left\{\sin \left(\frac{μ+2}{6}\right)π\cos \frac{μπ}{6}-\cos \left(\frac{μ+2}{6}\right)π\sin \frac{μπ}{6}\right\}\csc \frac{μπ}{6}\csc \left(\frac{μ+2}{6}\right)π\\
&=\frac{π}{6}\sin \left(\frac{μ+2}{6}-\frac{μ}{6}\right)π\csc \frac{μπ}{6}\csc \left(\frac{μ+2}{6}\right)π\\
&=\frac{π}{6}\sin \frac{π}{3}\csc \frac{μπ}{6}\csc \left(\frac{μ+2}{6}\right)π=\frac{π}{4\sqrt{3}} \csc \frac{μπ}{6}\csc \left(\frac{μ+2}{6}\right)π\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\tan^{μ-1} x \cos^2 x}{1-\sin^2 x \cos^2 x}dx=\frac{π}{4\sqrt{3}} \csc \frac{μπ}{6}\csc \left(\frac{μ+2}{6}\right)π  (0 \lt μ \lt 4)$$







\((3)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cot^{μ-1} x \sin^2 x}{1-\sin^2 x \cos^2 x}dx&=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}} ^0 \frac{\tan^{μ-1} t \cos^2 t}{1-\sin^2 t \cos^2 t}(-dt)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\tan^{μ-1} t \cos^2 t}{1-\sin^2 t \cos^2 t}dt=\frac{π}{4\sqrt{3}} \csc \frac{μπ}{6}\csc \left(\frac{μ+2}{6}\right)π\\
\end{alignat}

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