((tanx)^{μ-1}+(cotx)^{μ})/(sinx+cosx)cosx[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ-1} x+\cot^μ x}{(\sin x+\cos x) \cos x}dx=π\csc μπ  (0 \lt μ \lt 1)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ} x-\cot^μ x}{(\sin x+\cos x) \cos x}dx=\frac{1}{μ}-π\csc μπ  (0 \lt μ \lt 1)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ-1} x-\cot^μ x}{(\cos x-\sin x) \cos x}dx=π\cot μπ  (0 \lt μ \lt 1)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ} x-\cot^μ x}{(\cos x-\sin x) \cos x}dx=-\frac{1}{μ}-π\cot μπ  (0 \lt μ \lt 1)\\
&(5)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{v} x+\cot^μ x}{(\cos x-\sin x) \cos x}dx=ψ(1-μ)-ψ(1+v)  (μ \lt 1,\, v \gt -1)\\
\end{alignat}










<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^p-x^{-p}}{1+x}dx=\frac{1}{p}-\frac{π}{\sin pπ}  (-1 \lt p \lt 1)\\
&(B) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{-p}-x^p}{1-x}dx=\frac{1}{p}-π \cot pπ  (-1 \lt p \lt 1)\\
&(C) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}-x^{-p}}{1-x}dx=π \cot pπ  (0 \lt p \lt 1)\\
\end{alignat}







全て \(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)

\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ-1} x+\cot^μ x}{(\sin x+\cos x) \cos x}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ-1} x+\cot^μ x}{\tan x+1} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ-1}+t^{-μ}}{1+t}dt=B(μ,1-μ)=π\csc μπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ-1} x+\cot^μ x}{(\sin x+\cos x) \cos x}dx=π\csc μπ  (0 \lt μ \lt 1)$$







\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ} x-\cot^μ x}{(\sin x+\cos x) \cos x}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ} x-\cot^μ x}{\tan x+1} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ}-t^{-μ}}{1+t}dt=\frac{1}{μ}-π\csc μπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ} x-\cot^μ x}{(\sin x+\cos x) \cos x}dx=\frac{1}{μ}-π\csc μπ  (0 \lt μ \lt 1)$$







\begin{alignat}{2}
(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ-1} x-\cot^μ x}{(\cos x-\sin x) \cos x}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ-1} x-\cot^μ x}{1-\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ-1}-t^{-μ}}{1-t}dt=ψ(1-μ)-ψ(μ)=π\cot μπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ-1} x-\cot^μ x}{(\cos x-\sin x) \cos x}dx=π\cot μπ  (0 \lt μ \lt 1)$$







\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ} x-\cot^μ x}{(\cos x-\sin x) \cos x}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ} x-\cot^μ x}{1-\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ}-t^{-μ}}{1-t}dt=ψ(1-μ)-ψ(1+μ)\\
&=ψ(1-μ)-ψ(μ)-\frac{1}{μ}=-\frac{1}{μ}+π\cot μπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{μ} x-\cot^μ x}{(\cos x-\sin x) \cos x}dx=-\frac{1}{μ}-π\cot μπ  (0 \lt μ \lt 1)$$







\begin{alignat}{2}
(5)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{v} x-\cot^μ x}{(\cos x-\sin x) \cos x}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{v} x-\cot^μ x}{1-\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{v}-t^{-μ}}{1-t}dt=ψ(1-μ)-ψ(1+v)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{v} x-\cot^μ x}{(\cos x-\sin x) \cos x}dx=ψ(1-μ)-ψ(1+v)  (μ \lt 1,\, v \gt -1)$$

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