(tanx)^{μ}/(sinx+cosx)^2[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^μ}{(\sin x+\cos x)^2}dx=\frac{μπ}{\sin μπ}  (0 \lt μ \lt 1)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^{-μ}}{(\sin x+\cos x)^2}dx=\frac{μπ}{\sin μπ}  (0 \lt μ \lt 2)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^{μ-1}}{\cos^2 x-\sin^2 x}dx=\frac{π}{2}\cot \frac{μπ}{2}  (0 \lt μ \lt 2)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^{1-μ}}{\cos^2 x-\sin^2 x}dx=-\frac{π}{2}\cot \frac{μπ}{2}  (0 \lt μ \lt 2)\\
\end{alignat}








<証明>

全て \(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)

\((3)(4)\) では、さらに \(t^2=s\) と置きます。\((2tdt=ds)\)


\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^μ}{(\sin x+\cos x)^2}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^μ}{(\tan x+1)^2}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^μ}{(t+1)^2}dt=B(μ+1,1-μ)\\
&=Γ(μ+1)Γ(1-μ)=μΓ(μ)Γ(1-μ)\\
&=\frac{μπ}{\sin μπ}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^μ}{(\sin x+\cos x)^2}dx=\frac{μπ}{\sin μπ}  (0 \lt μ \lt 1)$$







\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^{-μ}}{(\sin x+\cos x)^2}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^{-μ}}{(\tan x+1)^2}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{-μ}}{(t+1)^2}dt=B(1-μ,1+μ)\\
&=Γ(μ+1)Γ(1-μ)=μΓ(μ)Γ(1-μ)\\
&=\frac{μπ}{\sin μπ}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^{-μ}}{(\sin x+\cos x)^2}dx=\frac{μπ}{\sin μπ}  (0 \lt μ \lt 1)$$







\begin{alignat}{2}
(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^{μ-1}}{\cos^2 x-\sin^2 x}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\tan x)^{μ-1}}{1-\tan^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{1-t^2}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{\frac{μ-1}{2}}}{1-s} \cdot \frac{1}{2s^{\frac{1}{2}}}ds\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{\frac{μ}{2}-1}}{1-s}ds=\frac{1}{2} \cdot π\cot \frac{μπ}{2}\\
&=\frac{π}{2}\cot \frac{μπ}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^{μ-1}}{\cos^2 x-\sin^2 x}dx=\frac{π}{2}\cot \frac{μπ}{2}  (0 \lt μ \lt 2)$$







\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^{1-μ}}{\cos^2 x-\sin^2 x}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\tan x)^{1-μ}}{1-\tan^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{1-μ}}{1-t^2}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{\frac{1-μ}{2}}}{1-s} \cdot \frac{1}{2s^{\frac{1}{2}}}ds\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{-\frac{μ}{2}}}{1-s}ds=\frac{1}{2} \cdot π\cot \left(1-\frac{μ}{2}\right)π\\
&=-\frac{π}{2}\cot \frac{μπ}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\tan x)^{1-μ}}{\cos^2 x-\sin^2 x}dx=-\frac{π}{2}\cot \frac{μπ}{2}  (0 \lt μ \lt 2)$$

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