tanxの3乗根の積分

\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int\sqrt[3]{ \tan x}dx=-\frac{1}{2} \log | \tan^{\frac{2}{3}} x+1|+\frac{1}{4} \log ( \tan^{\frac{4}{3}} x- \tan^{\frac{2}{3}} x +1)\\
&                +\frac{\sqrt{3}}{2} \tan^{-1} \left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2 \tan^{\frac{2}{3}}x -1) \right\}+C
\end{alignat}









<証明>

\( \tan x=t^{\frac{3}{2}}\) と置くと

\( \tan^2 x=t^3, 1+ \tan^2 x=t^3+1\)
\(\displaystyle \frac{1}{ \cos^2 x}=t^3+1, \cos^2 x=\frac{1}{t^3+1}\)
\(\displaystyle \frac{1}{ \cos^2 x}dx=\frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}}dt, dx=\frac{3}{2}t^{\frac{1}{2}} \cos^2 xdt=\frac{3}{2}\cdot\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^3+1}dt\)

となりますので、これらを代入します。分母は因数分解します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int\sqrt[3]{ \tan x}dx=\displaystyle\int t^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^3+1}dt=\frac{3}{2}\displaystyle\int \frac{t}{t^3+1}dt\\
&          =\frac{3}{2}\displaystyle\int \frac{t}{(t+1)(t^2-t+1)}dt
\end{alignat} 次のように部分分数分解が出来たとして \(A,B,C\) の値を求めます。$$\frac{A}{t+1}+\frac{Bt+C}{t^2-t+1}=\frac{t}{(t+1)(t^2-t+1)} $$
両辺に \((t+1)(t^2-t+1)\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
&A(t^2-t+1)+(Bt+C)(t+1)=t\\
&At^2-At+A+Bt^2+Bt+Ct+C=t\\
&(A+B)t^2+(-A+B+C)t+(A+C)=t\\
\end{alignat} \(A+B=0, -A+B+C=1, A+C=0\) が得られるので

これを解くと \(C=-A\) より \(-2A+B=1, 2A-B=-1\)

\(A+B=0\) と \(2A-B=-1\) を足し合わせて \(\displaystyle 3A=-1, A=-\frac{1}{3}\)

よって \(\displaystyle B=\frac{1}{3}, C=\frac{1}{3}\)

以上より、元の積分は次のようになります。 $$\displaystyle\int \sqrt[3]{ \tan x} dx=\frac{3}{2}\displaystyle\int \left(-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{t+1}+\frac{1}{3}\cdot \frac{t+1}{t^2-t+1}\right)dt$$ 左の積分は$$-\frac{1}{2}\displaystyle\int \frac{1}{t+1}dt=-\frac{1}{2} \log |t+1|$$ 右の積分は、分母を平方完成して、
分子に \(\displaystyle t-\frac{1}{2}\) を作り出し、分数を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{t+1}{t^2-x+1}dx=\displaystyle\int \frac{\left(t-\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{2}}{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}dt\\
&=\displaystyle\int \left\{\frac{t-\frac{1}{2}}{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}+\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right\}dt
\end{alignat}\(\displaystyle t-\frac{1}{2}=s\) と置きます。\(( dt=ds )\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int \left(\frac{s}{s^2+\frac{3}{4}}+\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{s^2+\frac{3}{4}}\right)ds\\

&=\frac{1}{2} \log \left(s^2+\frac{3}{4}\right)+\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \frac{2}{\sqrt{3}}s\\
&=\frac{1}{2} \log \left\{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right\}+\sqrt{3} \tan^{-1} \frac{2\sqrt{3}}{3}\left(t-\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2} \log (t^2-t+1)+\sqrt{3} \tan^{-1} \left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2t-1)\right\}
\end{alignat}
以上より、積分の結果は次のようになります。$$\displaystyle\int\sqrt[3]{ \tan x}dx=-\frac{1}{2} \log |t+1|+\frac{1}{4} \log (t^2-t+1)+\frac{\sqrt{3}}{2} \tan^{-1} \left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2t-1)\right\}$$最後に \(t= \tan^{\frac{2}{3}} x\) を代入します。 $$\displaystyle\int\sqrt[3]{ \tan x}dx=-\frac{1}{2} \log | \tan^{\frac{2}{3}}x+1|+\frac{1}{4} \log ( \tan^{\frac{4}{3}} x- \tan^{\frac{2}{3}} x +1)+\frac{\sqrt{3}}{2} \tan^{-1} \left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2 \tan^{\frac{2}{3}} x -1)\right\}+C$$

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