((tanx)^{v}-(cosx)^{v})/((tanx)^{μ}-(cosx)^{μ)sin2x[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^v x-\cot^μ x}{(\tan^μ x-\cot^μ x) \sin 2x}dx=\frac{π}{4μ} \tan \frac{vπ}{2μ}  (0 \lt v \lt μ)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^v x+\cot^μ x}{(\tan^μ x+\cot^μ x) \sin 2x}dx=\frac{π}{4μ} \sec \frac{vπ}{2μ}  (0 \lt v \lt μ)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(1+\tan x)^v-1}{(1+\tan x)^{μ+v} \sin x \cos x}dx=ψ(μ+v)-ψ(μ)  (μ,v \gt 0)\\
\end{alignat}









<証明>

全て \(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^v x-\cot^μ x}{(\tan^μ x-\cot^μ x) \sin 2x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^v x-\cot^μ x}{(\tan^μ x-\cot^μ x)} \cdot \frac{1}{2\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^v-t^{-v}}{t^μ-t^{-μ}} \cdot \frac{1}{2t}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{v-1}-t^{-v-1}}{t^μ-t^{-μ}}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ+v-1}-t^{μ-v-1}}{t^{2μ}-1}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ-v-1}-t^{μ+v-1}}{1-t^{2μ}}dt\\
\end{alignat}\(t^{2μ}=s\) と置きます。\((2μt^{2μ-1}dt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{μ-v-1}{2μ}}-s^{\frac{μ+v}{2μ}-1}}{1-s} \cdot \frac{1}{2μs^{\frac{2μ-1}{2μ}}}ds\\
&=\frac{1}{4μ} \displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{1}{2}-\frac{v}{2μ}-1}-s^{\frac{v}{2μ}+\frac{1}{2}-1}}{1-s}ds\\
&=\frac{1}{4μ} \left\{ψ\left(\frac{1}{2}-\frac{v}{2μ}\right)-ψ\left(\frac{v}{2μ}+\frac{1}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{4μ} \cdot π\tan \frac{vπ}{2μ}=\frac{π}{4μ} \tan \frac{vπ}{2μ}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^v x-\cot^μ x}{(\tan^μ x-\cot^μ x) \sin 2x}dx=\frac{π}{4μ} \tan \frac{vπ}{2μ}  (0 \lt v \lt μ)$$







\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^v x+\cot^μ x}{(\tan^μ x+\cot^μ x) \sin 2x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^v x+\cot^μ x}{(\tan^μ x+\cot^μ x)} \cdot \frac{1}{2\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^v+t^{-v}}{t^μ+t^{-μ}} \cdot \frac{1}{2t}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{v-1}+t^{-v-1}}{t^μ+t^{-μ}}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ+v-1}+t^{μ-v-1}}{t^{2μ}+1}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{μ-v-1}+t^{μ+v-1}}{1+t^{2μ}}dt\\
\end{alignat}\(t^{2μ}=s\) と置きます。\((2μt^{2μ-1}dt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{μ-v-1}{2μ}}+s^{\frac{μ+v}{2μ}-1}}{1+s} \cdot \frac{1}{2μs^{\frac{2μ-1}{2μ}}}ds\\
&=\frac{1}{4μ} \displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{1}{2}-\frac{v}{2μ}-1}+s^{\frac{v}{2μ}+\frac{1}{2}-1}}{1+s}ds\\
&=\frac{1}{4μ} B\left(\frac{1}{2}-\frac{v}{2μ},\frac{v}{2μ}+\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{4μ} \cdot π\sec \frac{vπ}{2μ}=\frac{π}{4μ} \sec \frac{vπ}{2μ}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^v x+\cot^μ x}{(\tan^μ x+\cot^μ x) \sin 2x}dx=\frac{π}{4μ} \sec \frac{vπ}{2μ}  (0 \lt v \lt μ)$$







\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(1+\tan x)^v-1}{(1+\tan x)^{μ+v} \sin x \cos x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(1+\tan x)^v-1}{(1+\tan x)^{μ+v} \tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1+t)^v-1}{(1+t)^{μ+v}t} dt\\
\end{alignat}
\(\displaystyle 1+t=\frac{1}{s}\) と置きます。\(\displaystyle \left( dt=-\frac{1}{s^2}ds\right)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_1^0 \frac{s^{-v}-1}{s^{-μ-v}} \cdot \frac{s}{1-s} \left(-\frac{1}{s^2}\right)ds\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{μ-1}-s^{μ+v-1}}{1-s}ds=ψ(μ+v)-ψ(μ)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(1+\tan x)^v-1}{(1+\tan x)^{μ+v} \sin x \cos x}dx=ψ(μ+v)-ψ(μ)  (μ,v \gt 0)$$

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