タンジェント数

タンジェント数は \( \tan x\) の級数表示における係数です。

タンジェント数は次の式で表されます。$$T_{2n-1}=\frac{(-1)^n(2^{2n}-4^{2n})B_{2n}}{2n},  T_{2n}=0$$









<証明>

\( \tan x\) の級数展開は次式で表されます。(詳細はこちらです。)$$\tan x=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n(1-4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}  \left(-\frac{π}{2} \lt x \lt \frac{π}{2}\right)$$ここで係数を比較するために次のように置きます。$$\tan x=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{T_k}{k!}x^k$$\( \tan x\) は奇関数なので \(x^{2n}\) の項は存在しない。

よって \(k=2n-1\) と置きます。\((n \in \mathrm{N})\)$$\tan x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{T_{2n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}$$係数を比較すれば$$\frac{T_{2n-1}}{(2n-1)!}=\frac{(-4)^n(1-4^n)B_{2n}}{(2n)!}$$以上より$$T_{2n-1}=\frac{(-1)^n(2^{2n}-4^{2n})B_{2n}}{2n},  T_{2n}=0$$




ここでいくつかのタンジェント数を計算してみます。

\begin{alignat}{2}
&T_1=\frac{-(2^2-4^2)B_2}{2}=-\frac{1}{2}(4-16)\cdot \frac{1}{6}=1\\
&\\
&T_3=\frac{(2^4-4^4)B_4}{4}=\frac{1}{4}(16-256)\left(-\frac{1}{30}\right)=2\\
&\\
&T_5=\frac{-(2^6-4^6)B_6}{6}=-\frac{1}{6}(64-4096) \cdot \frac{1}{42}=16\\
&\\
&T_7=\frac{(2^8-4^8)B_8}{8}=\frac{256(1-256)}{8}\left(-\frac{1}{30}\right)=272\\
&\\
&T_9=\frac{(2^{10}-4^{10})B_{10}}{10}=\frac{1024(1-1024)}{10} \cdot \frac{5}{66}=7936
\end{alignat}

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です