多重対数関数[7]

\begin{alignat}{2}
&(1)  \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{π^2}{18}-\frac{1}{6}(\log 3)^2\\
&(2)  \mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{π^2}{18}+\frac{1}{6}(\log 3)^2\\
&(3)  \mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{8}\right)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{2}\left(\log\frac{9}{8}\right)^2\\
&(4)  \mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{6}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{π^2}{18}+\log 2 \log 3-\frac{1}{2}(\log 2)^2-\frac{1}{3}(\log 3)^2\\
&(5)  \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{3}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{π^2}{18}+2 \log 2 \log 3-2 (\log 2)^2-\frac{2}{3}(\log 3)^2
\end{alignat}















<証明>

次の等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(-x)=\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2(x^2)\\
&(B)  \mathrm{Li}_2(1-x)+\mathrm{Li}_2\left(1-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{2}(\log x)^2\\
\end{alignat}



\((1)\) \((A)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) とします。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)+\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)&=\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)\\
\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)&=-\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)  \cdots (A)’
\end{alignat}\((B)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{3}{4}\) とします。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)+\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)&=-\frac{1}{2}\left(\log \frac{3}{4}\right)^2\\
\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)&=-\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{2}(\log 3-2 \log 2)^2  \cdots (B)’
\end{alignat}\((A)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) とします。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)+\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)&=\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)\\
\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)&=2\left\{\frac{π^2}{12}-\frac{1}{2}(\log 2)^2\right\}+2\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)\\
\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)&=\frac{π^2}{6}-(\log 2)^2+2\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)  \cdots (C)’\\
\end{alignat}\((B)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{2}{3}\) とします。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)+\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)&=-\frac{1}{2}\left(\log \frac{2}{3}\right)^2\\
\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)&=-\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}(\log 2- \log 3)^2  \cdots (D)’
\end{alignat}
\((A)’\) に \((B)’(C)’(D)’\) を代入していきます。
\begin{alignat}{2}
&  \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)\\
&=\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}(\log 3- \log 2)^2\\
&=\frac{π^2}{6}-(\log 2)^2 +2 \mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}(\log 3-2\log 2)^2\\
&=\frac{π^2}{6}-(\log 2)^2 -2 \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-(\log 2- \log 3)^2+\frac{1}{2}(\log 3-2\log 2)^2\\
&=\frac{π^2}{6}-(\log 2)^2 -2 \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-(\log 2)^2+2 \log 2 \log 3 -(\log 3)^2+\frac{1}{2}(\log 3)^2-2 \log 2 \log 3+2 (\log 2)^2\\
&=\frac{π^2}{6}-2 \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}(\log 3)^2\\
\end{alignat}となるので$$\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{π^2}{6}-2 \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}(\log 3)^2$$移項します。$$3\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{π^2}{6}-\frac{1}{2}(\log 3)^2$$両辺を \(3\) で割ります。以上より$$\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{π^2}{18}-\frac{1}{6}(\log 3)^2$$







\((2)\) \((1)\) の式に \((A)’\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)-\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)&=\frac{π^2}{18}-\frac{1}{6}(\log 3)^2\\
-\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)&=\frac{π^2}{18}-\frac{1}{6}(\log 3)^2\\
\end{alignat}両辺を \((-1)\) 倍します。以上より$$\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{π^2}{18}+\frac{1}{6}(\log 3)^2$$







\((3)\) \((B)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{9}{8}\) とします。$$\mathrm{Li}_2\left(1-\frac{9}{8}\right)+\mathrm{Li}_2\left(1-\frac{8}{9}\right)=-\frac{1}{2}\left(\log \frac{9}{8}\right)^2$$以上より$$\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{8}\right)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{2}\left(\log\frac{9}{8}\right)^2$$







\((4)\) 次の \((D’)\) の式と$$\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)+\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\left(\log 2 – \log 3\right)^2$$\((1)\) の式を用意して$$\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{π^2}{18}-\frac{1}{6}(\log 3)^2$$これらの差を取ります。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{6}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)&=-\frac{π^2}{18}+\frac{1}{6}(\log 3)^2-\frac{1}{2}(\log 2- \log 3)
^2\\
&=-\frac{π^2}{18}+\frac{1}{6}(\log 3)^2-\frac{1}{2}(\log 2)^2 +\log 2 \log 3-\frac{1}{2}(\log 3)^2\\
&=-\frac{π^2}{18}+\log 2 \log 3-\frac{1}{2}(\log 2)^2-\frac{1}{3}(\log 3)^2
\end{alignat}以上より$$\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{6}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{π^2}{18}+\log 2 \log 3-\frac{1}{2}(\log 2)^2-\frac{1}{3}(\log 3)^2$$







\((5)\) 次の \((C)’\) の式を$$\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)-\frac{π^2}{12}+\frac{1}{2}(\log 2)^2$$\((4)\) の式に代入します。
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)-\frac{π^2}{12}+\frac{1}{2}(\log 2)^2+\frac{1}{6}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)&=-\frac{π^2}{18}+\log 2 \log 3 -\frac{1}{2}(\log 2)^2-\frac{1}{3}(\log 3)^3\\
\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{6}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)&=\frac{π^2}{36}+\log 2 \log 3 -(\log 2)^2-\frac{1}{3}(\log 3)^3\\
\end{alignat}両辺を \(2\) 倍します。以上より$$\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{3}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{π^2}{18}+2 \log 2 \log 3-2 (\log 2)^2-\frac{2}{3}(\log 3)^2$$

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