多重対数関数[6]

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{φ^n-1}{n^2φ^{2n}}=\frac{π^2}{30}\\
&(2)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^n φ^{2n}}{n^2φ^{n}}=\frac{π^2}{5}\\
&(3)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^nφ^{3n}}{n^2φ^{2n}}=\frac{π^2}{6}\\
&(4)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}-1}{n^2φ^{n}}=\frac{π^2}{30}\\
&(5)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}φ^n-1}{n^2φ^{2n}}=\frac{π^2}{15}\\
&(6)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(φ^{2n}+2)}{n^2φ^{n}}=\frac{π^2}{6}\\
\end{alignat}








<証明>

次の二重対数関数の等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ}\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2φ^n}=\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2\\
&(B)  \mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ^2}\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2φ^{2n}}=\frac{π^2}{15}-(\log φ)^2\\
&(C)  \mathrm{Li}_2(-φ)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nφ^n}{n^2}=-\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2\\
&(D)  \mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{φ}\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2φ^n}=-\frac{π^2}{15}+\frac{1}{2}(\log φ)^2\\
\end{alignat}



\((1)\) \((A)-(B)\) を計算します。$$\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ}\right)-\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ^2}\right)=\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2-\left\{\frac{π^2}{15}-(\log φ)^2\right\}=\frac{π^2}{30}$$一方、級数で表すと
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ}\right)-\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ^2}\right)&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2φ^n}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2φ^{2n}}\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\left(\frac{1}{φ^n}-\frac{1}{φ^{2n}}\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{φ^n-1}{n^2φ^{2n}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{φ^n-1}{n^2φ^{2n}}=\frac{π^2}{30}$$







\((2)\) \((A)-(C)\) を計算します。$$\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ}\right)-\mathrm{Li}_2 \left(-φ\right)=\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2-\left\{-\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2\right\}=\frac{π^2}{5}$$一方、級数で表すと
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ}\right)-\mathrm{Li}_2 \left(-φ\right)&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2φ^n}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nφ^n}{n^2}\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\left\{\frac{1}{φ^n}-(-1)^nφ^n\right\}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^n φ^{2n}}{n^2φ^{n}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^n φ^{2n}}{n^2φ^{n}}=\frac{π^2}{5}$$







\((3)\) \((B)-(C)\) を計算します。$$\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ^2}\right)-\mathrm{Li}_2 \left(-φ\right)=\frac{π^2}{15}-(\log φ)^2-\left\{-\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2\right\}=\frac{π^2}{6}$$一方、級数で表すと
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ^2}\right)-\mathrm{Li}_2 \left(-φ\right)&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2φ^{2n}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nφ^n}{n^2}\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\left\{\frac{1}{φ^{2n}}-(-1)^nφ^n\right\}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^nφ^{3n}}{n^2φ^{2n}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^nφ^{3n}}{n^2φ^{2n}}=\frac{π^2}{6}$$







\((4)\) \((A)+(D) \times 2\) を計算します。$$\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ}\right)+2\mathrm{Li}_2 \left(-\frac{1}{φ}\right)=\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2+2\left\{-\frac{π^2}{15}+\frac{1}{2}(\log φ)^2\right\}=-\frac{π^2}{30}$$一方、級数で表すと
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ}\right)+2\mathrm{Li}_2 \left(-\frac{1}{φ}\right)&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2φ^n}+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2φ^{n}}\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\left\{\frac{1}{φ^n}+\frac{2(-1)^n}{φ^{n}}\right\}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2(-1)^{n}}{n^2φ^{n}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}-1}{n^2φ^{n}}=\frac{π^2}{30}$$







\((5)\) \((B)+(D) \times 2\) を計算します。$$\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ^2}\right)+2\mathrm{Li}_2 \left(-\frac{1}{φ}\right)=\frac{π^2}{15}-(\log φ)^2+2\left\{-\frac{π^2}{15}+\frac{1}{2}(\log φ)^2\right\}=-\frac{π^2}{15}$$一方、級数で表すと
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ^2}\right)+2\mathrm{Li}_2 \left(-\frac{1}{φ}\right)&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2φ^{2n}}+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2φ^{n}}\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\left\{\frac{1}{φ^{2n}}+\frac{2(-1)^n}{φ^{n}}\right\}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2(-1)^{n}φ^n}{n^2φ^{2n}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n-1}φ^n-1}{n^2φ^{2n}}=\frac{π^2}{15}$$







\((6)\) \((C)+(D) \times 2\) を計算します。$$\mathrm{Li}_2 \left(-φ\right)+2\mathrm{Li}_2 \left(-\frac{1}{φ}\right)=-\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2+2\left\{-\frac{π^2}{15}+\frac{1}{2}(\log φ)^2\right\}=-\frac{π^2}{6}$$一方、級数で表すと
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2 \left(-φ\right)+2\mathrm{Li}_2 \left(-\frac{1}{φ}\right)&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nφ^n}{n^2}+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2φ^{n}}\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\left(φ^n+\frac{2}{φ^{n}}\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(φ^{2n}+2)}{n^2φ^{n}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(φ^{2n}+2)}{n^2φ^{n}}=\frac{π^2}{6}$$

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