多重対数関数[10]

次は三重対数関数の値です。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \mathrm{Li}_3(1)=ζ(3)\\
&(2)  \mathrm{Li}_3(-1)=-\frac{3}{4}ζ(3)\\
&(3)  \mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{24}\{4(\log 2)^3-2π^2 \log 2+21ζ(3)\}\\
&(4)  \mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ^2}\right)=\frac{1}{15}\{10 (\log φ)^3-2π^2 \log φ+12ζ(3)\}\\
\end{alignat}










<証明>

次の等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \mathrm{Li}_3(x)+\mathrm{Li}_3(-x)=\frac{1}{4}\mathrm{Li}_3(x^2)\\
&(B)  \mathrm{Li}_3(-x)-\mathrm{Li}_3\left(-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{6}(\log x)^3-\frac{π^2}{6}\log x\\
&(C)  \mathrm{Li}_3(x)+\mathrm{Li}_3(1-x)+\mathrm{Li}_3\left(1-\frac{1}{x}\right)\\
&=ζ(3)+\frac{1}{6}(\log x)^3+\frac{π^2}{6}\log x-\frac{1}{2}(\log x)^2 \log (1-x)\\
\end{alignat}






\begin{alignat}{2}
&(1)  \mathrm{Li}_3(1)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac
{1}{n^3}=ζ(3)\\
&\\
&(2)  \mathrm{Li}_3(-1)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac
{(-1)^n}{n^3}=-η(3)=-\left(1-\frac{1}{4}\right)ζ(3)=-\frac{3}{4}ζ(3)\\
\end{alignat}


\((3)\) \((C)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) とします。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{2}\right)+\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{2}\right)+\mathrm{Li}_3(-1)&=ζ(3)+\frac{1}{6}\left(\log \frac{1}{2}\right)^3+\frac{π^2}{6}\log \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\log \frac{1}{2}\right)^2 \log \left(1-\frac{1}{2}\right) \\
&=ζ(3)-\frac{1}{6}(\log 2)^3-\frac{π^2}{6}\log 2+\frac{1}{2}(\log 2)^3\\
&=ζ(3)+\frac{1}{3}(\log 2)^3-\frac{π^2}{6}\log 2\\
2\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}ζ(3)&=
ζ(3)+\frac{1}{3}(\log 2)^3-\frac{π^2}{6}\log 2\\
2\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{2}\right)&=\frac{7}{4}ζ(3)+\frac{1}{3}(\log 2)^3-\frac{π^2}{6}\log 2\\
\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{2}\right)&=\frac{7}{8}ζ(3)+\frac{1}{6}(\log 2)^3-\frac{π^2}{12}\log 2\\
\end{alignat}以上より$$\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{24}\{4(\log 2)^3-2π^2 \log 2+21ζ(3)\}$$







\((3)\) \((A)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{1}{φ}\) とします。$$\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ}\right)+\mathrm{Li}_3\left(-\frac{1}{φ}\right)=\frac{1}{4}\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ^2}\right)$$\((B)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{1}{φ}\) とします。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_3\left(-\frac{1}{φ}\right)-\mathrm{Li}_3\left(-φ\right)&=-\frac{1}{6}\left(\log \frac{1}{φ}\right)^3-\frac{π^2}{6}\log \frac{1}{φ}\\
&=\frac{1}{6}(\log φ)^3+\frac{π^2}{6}\log φ\\
\end{alignat}上記の式の差を取ります。$$\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ}\right)+\mathrm{Li}_3(-φ)=\frac{1}{4}\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ^2}\right)-\frac{1}{6}(\log φ)^3-\frac{π^2}{6}\log φ  \cdots (D) $$

次に \((C)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{1}{φ^2}\) とします。\((D)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ^2}\right)+\mathrm{Li}_3\left(1-\frac{1}{φ^2}\right)+\mathrm{Li}_3\left(1-φ^2\right)&=ζ(3)+\frac{1}{6}\left(\log \frac{1}{φ^2}\right)^3+\frac{π^2}{6}\log \frac{1}{φ^2}-\frac{1}{2}\left(\log \frac{1}{φ^2}\right)^2 \log \left(1-\frac{1}{φ^2}\right)\\
\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ^2}\right)+\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ}\right)+\mathrm{Li}_3\left(-φ\right)&=ζ(3)-\frac{4}{3}(\log φ)^3-\frac{π^2}{3}\log φ+2(\log φ)^3\\
\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ^2}\right)+\frac{1}{4}\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ^2}\right)-\frac{1}{6}(\log φ)^3-\frac{π^2}{6}\log φ&=ζ(3)+\frac{2}{3}(\log φ)^3-\frac{π^2}{3}\log φ\\
\frac{5}{4}\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ^2}\right)&=ζ(3)+\frac{5}{6}(\log φ)^3-\frac{π^2}{6}\log φ\\
\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ^2}\right)&=\frac{4}{5}ζ(3)+\frac{2}{3}(\log φ)^3-\frac{2}{15}π^2 \log φ
\end{alignat}以上より$$\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{φ^2}\right)=\frac{1}{15}\{10 (\log φ)^3-2π^2 \log φ+12ζ(3)\}$$


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