多重対数関数[4]

次は二重対数関数の値です。(ただし \(\mathrm{L}(x)\) はロジャースの二重対数関数)
\begin{alignat}{2}
&(1)  \mathrm{L}(1)=\frac{π^2}{6}\\
&(2)  \mathrm{L}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{π^2}{12}\\
&(3)  \mathrm{L}\left(\frac{1}{φ}\right)=\frac{π^2}{10}\\
&(4)  \mathrm{L}\left(\frac{1}{φ^2}\right)=\frac{π^2}{15}\\
&(5)  \mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ}\right)=\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2\\
&(6)  \mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ^2}\right)=\frac{π^2}{15}-(\log φ)^2\\
&(7)  \mathrm{Li}_2(-φ)=-\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2\\
&(8)  \mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{φ}\right)=-\frac{π^2}{15}+\frac{1}{2}(\log φ)^2\\
\end{alignat}









<証明>

\((1)\) 次の等式において$$\mathrm{L}(x)=\mathrm{Li}_2(x)+\frac{1}{2}\log x \log (1-x)$$\(x=1\) のとき$$\mathrm{L}(1)=\mathrm{Li}_2(1)=\frac{π^2}{6}$$








\((2)\) 次の等式において$$\mathrm{L}(x)+\mathrm{L}(1-x)=\frac{π^2}{6}$$\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) のとき$$2 \mathrm{L}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{π^2}{6},  \mathrm{L}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{π^2}{12}$$






\((3)(4)\) \(\displaystyle A=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\,B=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) と置くと、次式が成り立ちます。$$A^2=B,  1-A=B,  \frac{A}{A+1}=B$$次の等式について$$\mathrm{L}(x)=\mathrm{L}\left(\frac{x}{x+1}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{L}(x^2)$$\(x=A\) とすると$$\mathrm{L}(A)=\mathrm{L}\left(\frac{A}{A+1}\right)+\frac{1}{2}\mathrm{L}(A^2)=\mathrm{L}(B)+\frac{1}{2}\mathrm{L}(B)=\frac{3}{2}\mathrm{L}(B)$$また、次の等式について$$\mathrm{L}(x)+\mathrm{L}(1-x)=\frac{π^2}{6}$$\(x=A\) とすると$$\mathrm{L}(A)+\mathrm{L}(1-A)=\mathrm{L}(A)+\mathrm{L}(B)=\frac{3}{2}\mathrm{L}(B)+\mathrm{L}(B)=\frac{5}{2}\mathrm{L}(B)=\frac{π^2}{6}$$よって$$\mathrm{L}(B)=\frac{π^2}{15},  \mathrm{L}(A)=\frac{π^2}{10}$$以上より$$\mathrm{L}\left(\frac{1}{φ}\right)=\frac{π^2}{10},  \mathrm{L}\left(\frac{1}{φ^2}\right)=\frac{π^2}{15}$$








\((5)(6)(7)\) 次の等式において$$\mathrm{L}(x)=\mathrm{Li}_2(x)+\frac{1}{2}\log x \log (1-x)$$移項します。$$\mathrm{Li}_2(x)=\mathrm{L}(x)-\frac{1}{2} \log x \log (1-x)$$\((5)\) \(\displaystyle x=A=\frac{1}{φ}\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2 \left(A\right)&=\mathrm{L}(A)-\frac{1}{2} \log A \log (1-A)\\
&=\mathrm{L}(A)-\frac{1}{2} \log A \log A^2=\mathrm{L}(A)-(\log A)^2\\
\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ}\right)&=\mathrm{L}\left(\frac{1}{φ}\right)-(\log φ)^2=\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2
\end{alignat}以上より$$\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ}\right)=\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2$$
\((6)\) \(\displaystyle x=B=\frac{1}{φ^2}\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2 \left(B\right)&=\mathrm{L}(B)-\frac{1}{2} \log B \log (1-B)\\
&=\mathrm{L}(B)-\frac{1}{2} \log A^2 \log A=\mathrm{L}(B)-(\log A)^2\\
\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ^2}\right)&=\mathrm{L}\left(\frac{1}{φ^2}\right)-(\log φ)^2=\frac{π^2}{15}-(\log φ)^2
\end{alignat}以上より$$\mathrm{Li}_2 \left(\frac{1}{φ^2}\right)=\frac{π^2}{15}-(\log φ)^2$$








\((7)\) 次の等式について(詳細はこちらです)$$\mathrm{Li}_2(1-x)+\mathrm{Li}_2\left(1-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{2}(\log x)^2$$\(x=φ^2\) とします。$$\mathrm{Li}_2(1-φ^2)+\mathrm{Li}_2\left(1-\frac{1}{φ^2}\right)=-\frac{1}{2}(\log φ^2)^2$$\(φ^2=φ+1\) であるので$$\mathrm{Li}_2(-φ)+\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{φ}\right)=-\frac{1}{2}\cdot 4(\log φ)^2$$\((5)\) の式を代入します。$$\mathrm{Li}_2(-φ)+\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2=-2 (\log φ)^2$$以上より$$\mathrm{Li}_2(-φ)=-\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2$$







\((8)\) 次の等式について(詳細はこちらです)$$\mathrm{Li}_2(x)+\mathrm{Li}_2(-x)=\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2(x^2)$$\(\displaystyle x=\frac{1}{φ}\) を代入します。$$\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{φ}\right)+\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{φ}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2(\frac{1}{φ^2})$$移項して\((5)\) と \((6)\) の式 を代入します。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{φ}\right)&=\frac{1}{2}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{φ^2}\right)-\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{φ}\right)\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{π^2}{15}-(\log φ)^2\right\}-\left\{\frac{π^2}{10}-(\log φ)^2\right\}\\
&=\frac{π^2}{30}-\frac{1}{2}(\log φ)^2-\frac{π^2}{10}+(\log φ)^2\\
&=-\frac{π^2}{15}+\frac{1}{2}(\log φ)^2\\
\end{alignat}以上より$$\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{φ}\right)=-\frac{π^2}{15}+\frac{1}{2}(\log φ)^2$$

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